曲線 $y=ax^2$ と曲線 $y=\log x$ がただ1点を共有し、その共有点で接線が一致するとき、定数 $a$ と共有点を求め、さらに2つの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題

を解説しています。

（1）では、まず2つの曲線が共有点をもつことから、同じ $x$ に対して

$ax^2=\log x$

が成り立ちます。さらに、共有点で接線が一致するという条件から、その点における2つの曲線の微分係数も等しくなります。

$y=ax^2$ と $y=\log x$ をそれぞれ微分し、**「関数の値が等しい」「導関数の値も等しい」**という2つの条件を連立することで、共有点の $x$ 座標と定数 $a$ を決定していきます。

この問題の重要なポイントは、「ただ1点を共有する」という条件を単なる交点の条件だけで考えるのではなく、接線が一致することを微分によって式にすることです。接する2つの曲線では、接点において関数値だけでなく傾きも一致します。

（2）では、（1）で求めた $a$ と共有点を利用して、2つの曲線と $x$ 軸で囲まれる領域を確認したうえで定積分を立てます。

面積を求める際には、区間ごとにどちらの曲線が上側にあるかを確認し、必要に応じて積分を分けて計算します。特に $\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わるため、共有点と $x$ 軸との交点を正しく把握して積分区間を設定することが重要です。

この問題では、前半で微分を使った接線・接点の条件を扱い、後半で定積分を使った面積計算へつなげます。数Ⅲで学習する微分法と積分法を組み合わせた典型的な総合問題です。

この動画は、数Ⅲの接線、共有点、接する条件、2次関数と対数関数、定積分による面積、曲線と $x$ 軸で囲まれた領域を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた微分・積分の融合問題の演習としても活用できます。

The post 曲線y=ax²と曲線y=logxはただ1点を共有し、接線は一致するものとする。（1）定数aの値と共有点の座標を求めよ。（2）この2つの曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。【数Ⅲ】【積分法｜面積】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

扱う問題は、

（1）$x=2t$、$y=2t-t^2$（$0\leqq t\leqq2$）

（2）$x=\cos\theta$、$y=2\sin\theta$（$0\leqq\theta\leqq\pi$）

です。

この問題のポイントは、曲線が $y=f(x)$ の形で直接与えられているのではなく、$x$ と $y$ が媒介変数 $t$ や $\theta$ を使って表されていることです。そのため、通常の面積公式 $\int y,dx$ を、媒介変数を使った積分に書き換えて計算していきます。

（1）では、$x=2t$ から $\dfrac{dx}{dt}$ を求め、$y=2t-t^2$ と組み合わせて、面積を $t$ に関する定積分として表します。媒介変数表示された曲線では、$dx=\dfrac{dx}{dt}dt$ と置き換えることが基本です。さらに、$0\leqq t\leqq2$ の範囲で $x$ がどのように変化し、曲線が $x$ 軸のどちら側にあるかを確認してから積分します。

（2）では、$x=\cos\theta$、$y=2\sin\theta$ という三角関数による媒介変数表示を扱います。ここでも $\dfrac{dx}{d\theta}$ を求め、$y,dx$ を $\theta$ に関する式へ変換します。

特に（2）では、$\theta$ が $0$ から $\pi$ まで増加すると、$x=\cos\theta$ は減少します。そのため $\dfrac{dx}{d\theta}$ が負になることに注意し、積分区間の向きや面積が正になるように符号を正しく処理することが重要です。

また、$x=\cos\theta$、$y=2\sin\theta$ という表示から曲線の形を把握しておくと、どの部分の面積を計算しているのかを確認しやすくなります。媒介変数表示の面積問題では、計算だけでなく、パラメータが動く向きと曲線の形を確認することがミスを防ぐポイントです。

この動画では、媒介変数表示された曲線の面積、$\int y,dx$ の使い方、$dx/dt$・$dx/d\theta$ を利用した定積分への変換、三角関数を含む面積計算、積分区間と符号の考え方をまとめて確認できます。

数Ⅲの積分法、媒介変数表示、曲線と $x$ 軸で囲まれた面積を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策はもちろん、大学入試で頻出する媒介変数表示と定積分を組み合わせた面積問題の基礎演習としても活用できます。

The post 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。（1）x=2t、y=2t−t²（0≦t≦2）（2）x=cosθ、y=2sinθ（0≦θ≦π）【数Ⅲ】【積分法｜面積】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

△ABCにおいて、辺BCの中点をM、辺BCを1：2に分ける点をDとする。$a=6$、$b=5$、$c=7$ のとき、$AM$、$AD$ の長さを求める問題

を解説しています。

この問題のポイントは、三角形の3辺の長さが与えられた状態から、辺BC上の中点や内分点へ引いた線分の長さを、余弦定理を利用して求めることです。

まず $M$ は辺BCの中点なので、$BM$ と $MC$ の長さは等しくなります。したがって、△ABMなどの小さな三角形に注目し、もとの△ABCから必要な角のcosを余弦定理で求めることで、$AM$ の長さを計算できます。

中線 $AM$ を求める際には、三角形の辺の長さと余弦定理を組み合わせて考える方法のほか、結果として得られる中線の長さに関する関係式を利用する考え方も確認できます。単に公式を暗記するのではなく、余弦定理からどのように導けるかを理解しておくことが重要です。

次に、$D$ は辺BCを1：2に分ける点なので、その比から $BD$、$DC$ の長さを求めます。そのうえで△ABDなどに余弦定理を適用し、$AD$ の長さを計算していきます。

このとき重要なのは、点DがBCをどちら側から1：2に分けているのかを確認し、BDとDCを正しく設定することです。内分比から各線分の長さを求めたあと、もとの三角形と共通する角を利用することで、$AD$ を求められます。

この問題を通して、余弦定理を使った中線の長さの求め方、内分点までの距離、辺の比から線分の長さを求める方法をまとめて確認できます。三角形の中に新しい点や線分が加わったときに、どの三角形に注目して余弦定理を使えばよいかを判断することがポイントです。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の余弦定理、中線、内分点、三角形の辺上の点までの距離を求める問題を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた正弦定理・余弦定理の応用問題の演習としても活用できます。

The post △ABCにおいて，辺BCの中点をM，辺BCを1：2に分ける点をDとする。a=6，b=5，c=7のとき，AM，ADの長さを求めよ。【数Ⅰ】【図形と計量｜正弦定理余弦定理】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

△ABCにおいて、$a:b=(1+\sqrt3):2$、外接円の半径 $R=1$、$C=60^\circ$ のとき、$a$、$b$、$c$、$A$、$B$ を求める問題

を解説しています。

この問題のポイントは、辺の比、外接円の半径、1つの角度という複数の条件を、正弦定理と余弦定理を組み合わせて整理することです。

まず、正弦定理

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$

を利用します。今回は $R=1$、$C=60^\circ$ が与えられているため、$c$ は

$c=2R\sin C$

から求めることができます。外接円の半径が与えられている問題では、正弦定理の $2R$ を使う形をすぐに思い出せるかが重要です。

次に、$a:b=(1+\sqrt3):2$ という辺の比を利用して、$a$、$b$ を同じ比例定数を用いて表します。そこに、先ほど求めた $c$ と $C=60^\circ$ の条件を組み合わせ、余弦定理

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

を使って比例定数を決定していきます。

これによって三角形の3辺 $a$、$b$、$c$ を具体的に求めることができます。その後は、正弦定理や余弦定理を再び利用して角 $A$、$B$ を求め、最後に

$A+B+C=180^\circ$

も確認しながら三角形全体を決定していきます。

この問題では、1つの公式だけで最後まで解くのではなく、正弦定理で外接円の半径と辺を結び付け、余弦定理で辺の比を具体的な長さに変換し、さらに角度まで求めるという流れが重要です。与えられた条件をどの公式に対応させるかを判断する練習にも適しています。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の正弦定理・余弦定理、外接円の半径 $R$、辺の比から三角形を決定する問題、三角形の辺と角の求め方を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた正弦定理・余弦定理の応用問題の演習としても活用できます。

The post △ABCにおいて，a：b=（1+√3）：2，外接円の半径R=1，C=60°のとき，a，b，c，A，Bを求めよ。【数Ⅰ】【図形と計量｜正弦定理余弦定理】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

△ABCにおいて、$A:B:C=5:4:3$ のとき、角 $A$、$B$、$C$ と辺の比 $b:c$ を求める問題

を解説しています。

この問題では、まず三角形の内角の和が

$A+B+C=180^\circ$

であることを利用します。角の比が $5:4:3$ と与えられているので、3つの角をそれぞれ同じ比例定数を使って表し、合計が $180^\circ$ になることから $A$、$B$、$C$ の大きさを順番に求めていきます。

角度が求まったあとは、正弦定理を利用して辺の比 $b:c$ を求めます。 正弦定理より、三角形の辺の長さは、それぞれ向かい合う角のsinに比例するため、

$b:c=\sin B:\sin C$

と考えることができます。

したがって、先ほど求めた角 $B$、$C$ を使って、それぞれのsinの値を求めることで、辺の比 $b:c$ を計算できます。この問題では、角の比から実際の角度を求め、その角度を正弦定理に利用して辺の比へつなげる流れが重要です。

三角形の問題では、辺の長さが直接与えられていなくても、角度の情報から正弦定理を使って辺の比を求めることができます。特に、$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ などの代表的な角度が現れる場合は、基本的な三角比の値を正確に使えるようにしておくことがポイントです。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の正弦定理、三角形の内角の和、角の比から角度を求める方法、sinを利用した辺の比の求め方を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた正弦定理・余弦定理分野の基礎演習としても活用できます。

The post △ABCにおいて、次のものを求めよ。A：B：C=5：4：3のとき　A，B，C，b：c【数Ⅰ】【図形と計量｜正弦定理余弦定理】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

△ABCにおいて、$(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6$ のとき、角 $A$ を求める問題

を解説しています。

この問題のポイントは、与えられているのが辺 $a,b,c$ そのものの比ではなく、$b+c$、$c+a$、$a+b$ という辺の和の比になっていることです。そのため、まずこの比から $a:b:c$ を求められる形に整理していきます。

$(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6$ なので、それぞれを同じ比例定数を使って表し、3つの式を組み合わせることで $a$、$b$、$c$ の比を求めます。辺の和に関する条件から、個々の辺の比へ変換することが最初の重要なポイントです。

辺の比が分かったら、求めたいのは角 $A$ なので、角 $A$ の向かい側の辺が $a$ であることに注意して余弦定理を利用します。

余弦定理

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

に求めた辺の比を代入することで、$\cos A$ の値を求めることができます。さらに、その値を代表的な三角比と照らし合わせることで、角 $A$ を決定します。

この問題では、いきなり余弦定理を使うのではなく、まず**「辺の和の比」から「辺そのものの比」へ変換する**ことが必要です。そのうえで余弦定理を使うという、複数段階の処理が求められます。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の余弦定理、三角形の辺の比、辺の和から辺の比を求める方法、$\cos A$ から角度を求める問題を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた正弦定理・余弦定理の応用問題の基礎固めにも活用できます。

The post △ABCにおいて、次のものを求めよ。（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6のとき　A【数Ⅰ】【図形と計量｜正弦定理余弦定理】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

△ABCにおいて、$\sin A:\sin B:\sin C=5:8:7$ のとき、$\cos C$ と角 $C$ を求める問題

を解説しています。

この問題のポイントは、まず正弦定理を利用して、sinの比を三角形の辺の比に読み替えることです。正弦定理より、三角形の各辺 $a,b,c$ は、それぞれ向かい合う角のsinに比例するため、

$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$

となります。

したがって、与えられた

$\sin A:\sin B:\sin C=5:8:7$

から、三角形の辺の比を

$a:b:c=5:8:7$

と考えることができます。ここで実際の辺の長さが分からなくても、比だけ分かれば余弦定理を使って $\cos C$ を求めることができます。

次に、角 $C$ の向かい側の辺が $c$ であることに注意して、余弦定理

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

を利用します。辺の比 $a:b:c=5:8:7$ を代入して整理することで、$\cos C$ の値を求めることができます。

さらに、求めた $\cos C$ の値から、代表的な角度の三角比と対応させて角 $C$ を決定します。このように、正弦定理で「sinの比→辺の比」に変換し、その後に余弦定理を使うという流れが、この問題の重要なポイントです。

三角形の問題では、正弦定理と余弦定理のどちらを使うべきか迷うことがありますが、この問題のように両方を組み合わせる場合もあります。与えられた情報を辺の比に変換し、目的の角について余弦定理を適用できる形を作ることが大切です。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の正弦定理・余弦定理、三角形の辺と角の関係、sinの比から辺の比を求める方法、$\cos C$ や角度を求める問題を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた三角比・図形と計量分野の基礎固めにも活用できます。

The post △ABCにおいて、次のものを求めよ。sinA：sinB：sinC=5：8：7のとき　cosC，C【数Ⅰ】【図形と計量｜正弦定理余弦定理】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

△ABCにおいて、$b<c\Rightarrow B<C$ が成り立つことを正弦定理を利用して証明する問題

を解説しています。

三角形では、一般に大きい辺の向かい側には大きい角があるという関係があります。この問題では、その性質を感覚的に説明するのではなく、正弦定理を使って数式として証明することがポイントです。

正弦定理より、

$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

が成り立つため、辺の大小関係 $b<c$ を、$\sin B$ と $\sin C$ の大小関係へ結び付けて考えていきます。ただし、単純に $\sin B<\sin C$ だから $B<C$ と結論づけることはできません。三角形の角は $0^\circ$ より大きく $180^\circ$ より小さいため、sinの値だけでは角の大小を一意に判断できない場合があることに注意が必要です。

そこで、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることや、$B$ と $C$ の取り得る範囲を利用しながら、正弦定理から得られた関係を丁寧に整理していきます。証明問題では、公式を使うだけでなく、どの条件からどの結論が導けるのかを順序立てて示すことが重要です。

この問題を通して、正弦定理の使い方、三角形の辺と角の大小関係、sinの性質を利用した証明の考え方を確認できます。公式を数値計算に使うだけでなく、図形の性質を証明するために利用する典型的な問題です。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の正弦定理を復習したい方、三角形の辺と角の大小関係を理解したい方、数学の証明問題の考え方を練習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた図形と計量分野の基礎固めにも活用できます。

The post △ABCにおいて、次のことが成り立つことを正弦定理を利用して証明せよ。b＜c⟹B＜C【数Ⅰ】【図形と計量｜正弦定理】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

扱う関数は、

（1）$y=x^{\sin x}$
（2）$y=x^{e^x}$
（3）$y=x^{\log x}$
（4）$y=x^{1/x}$
（5）$y=(\sin x)^x$（$0<x<\pi$）
（6）$y=(\log x)^x$（$x>1$）

です。

これらの関数は、$x^n$ の微分公式や $a^x$ の微分公式をそのまま使うことができないため、対数微分法を利用して微分します。まず両辺の対数をとり、指数部分を前に出すことで、積や商として微分できる形に変形することが基本的な流れです。

例えば $y=x^{\sin x}$ のように、底と指数の両方に $x$ が含まれる場合は、両辺の対数をとって

$\log y=\sin x\log x$

と変形します。その後、右辺を積の微分として処理し、最後に $y=x^{\sin x}$ を戻すことで導関数を求めます。

$y=x^{e^x}$ や $y=x^{\log x}$ についても同様に、**「まず対数をとる」→「指数を前に出す」→「微分する」→「元の $y$ を戻す」**という流れで計算します。指数部分が $e^x$、$\log x$、$1/x$ などに変わっても、対数微分法の基本的な考え方は共通しています。

また、$y=(\sin x)^x$ や $y=(\log x)^x$ のように、底が $x$ そのものではない場合にも対数微分法を利用できます。ここでは、対数をとった後に合成関数の微分や積の微分を正確に行うことが重要です。

特に、$\log(\sin x)$ や $\log(\log x)$ を微分するときは、内側の関数まで微分する必要があるため、合成関数の微分公式を忘れないように注意します。また、対数を利用するため、問題に示されている $0<x<\pi$ や $x>1$ といった条件も重要になります。

この動画では、対数微分法の基本手順、指数にも変数を含む関数の微分、積の微分、合成関数の微分、対数関数・指数関数を含む導関数の求め方をまとめて確認できます。

数Ⅲの微分を学習している方や、$x^x$ 型・$f(x)^{g(x)}$ 型の関数の微分方法を身につけたい方におすすめの内容です。学校の定期テスト対策はもちろん、大学入試で頻出する対数微分法の基礎固めや微分計算の演習としても活用できます。

The post 次の関数を微分せよ。（1）y=xˢⁱⁿˣ（2）y=xᵉˣ（3）y=xˡᵒᵍˣ（4）y=x¹/ˣ（5）y=（sinx）ˣ（0＜x＜π）（6）y=（logx）ˣ（x＞1）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

sin²（180°−θ）＋sin²（90°−θ）＋sin²（90°＋θ）＋cos²（90°−θ）

の値を求める問題を解説しています。

この問題のポイントは、180°−θ、90°−θ、90°＋θといった角度の三角比を、θのsin・cosを使った形に変換することです。

三角比の拡張で学ぶ公式を利用すると、

sin（180°−θ）＝sinθ
sin（90°−θ）＝cosθ
sin（90°＋θ）＝cosθ
cos（90°−θ）＝sinθ

と変形できます。今回はそれぞれが2乗されているため、符号が変化する場合でも、2乗したあとの値に注意しながら式全体を整理していきます。

角度を変換したあとは、式をsin²θとcos²θだけで表された形にそろえることができます。そこで、三角比の基本的な相互関係である

sin²θ＋cos²θ＝1

を利用すると、θの具体的な値が与えられていなくても式全体の値を求めることができます。

このような問題では、90°や180°を基準とした角度の変換公式を一つずつ正確に使うことが重要です。公式を単に暗記するだけではなく、変換後にsin²θ＋cos²θの形を作れないかを考えることが、効率よく計算するためのポイントになります。

この動画は、**三角比の拡張、90°−θ・90°＋θ・180°−θの公式、sinとcosの変換、三角比の相互関係「sin²θ＋cos²θ＝1」**を復習したい方におすすめです。数Ⅰ「図形と計量」の定期テスト対策や、大学入試に向けた三角比の基礎固め、三角比を含む式の計算練習としても活用できます。

The post 次の式の値を求めよ。（3）sin²（180°−θ）+sin²（90°−θ）+sin²（90°+θ）+cos²（90°−θ）【数Ⅰ】【図形と計量｜三角比の拡張】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

1/sin²20°−tan²110°

の値を求める問題を解説しています。動画で扱われている問題はこちらです。(YouTube)

この問題のポイントは、110°という90°を超える角度のtanを、20°と関係する三角比に変換することです。

まず、110°＝180°−70°であることから、

tan110°＝−tan70°

と変形できます。さらに、70°＝90°−20°なので、余角の関係

tan（90°−θ）＝1/tanθ

を利用すると、tan70°を20°の三角比で表すことができます。2乗が含まれているため、符号にも注意しながら式全体を整理していきます。

最終的には、式をsin20°とcos20°を使った形にそろえることで、三角比の基本的な相互関係

sin²θ＋cos²θ＝1

を利用できる形になります。また、

1＋1/tan²θ＝1/sin²θ

に対応する関係を見抜くことでも、効率よく計算することができます。

一見すると20°や110°の具体的な三角比の値が必要に見えますが、実際には数値を求める必要はありません。角度の変換、余角・補角の関係、三角比の相互関係を組み合わせることで式全体の値を求められることが、この問題の重要なポイントです。

この動画は、三角比の拡張、90°を超える角度のsin・cos・tan、tan（180°−θ）、余角の公式、三角比の相互関係を復習したい方におすすめです。数Ⅰ「図形と計量」の定期テスト対策や、大学入試に向けた三角比の基礎演習としても活用できます。

The post 次の式の値を求めよ。（2）1/sin²20°−tan²110°【数Ⅰ】【図形と計量｜三角比の拡張】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

この問題のポイントは、90°を超える角度や、互いに関係のある角度の三角比を基本角に直して考えることです。sin100°やcos170°をそのまま扱うのではなく、三角比の拡張で学ぶ関係を使って、10°や80°などの角度と結び付けながら式を整理していきます。

特に、sin（180°−θ）＝sinθ、cos（180°−θ）＝−cosθといった第2象限の三角比の性質を正しく使えるかが重要です。符号に注意しながら角度を変換することで、見た目は複雑な式でも同じ三角比を含む形にそろえることができ、計算を大幅に簡単にできます。

また、80°と10°のような余角の関係にも注目することで、sinとcosの関係を利用してさらに式を整理できます。三角比の値をすべて暗記するのではなく、角度同士の関係を見抜いて、基本的な三角比へ変換する考え方を身につけることが大切です。

この動画は、数Ⅰ「図形と計量」の三角比の拡張、第2象限のsin・cos・tan、180°−θの公式、余角の関係を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や大学入試の基礎固め、三角比を含む式の値を求める問題の演習として活用できます。

The post 次の式の値を求めよ。（1）sin10°cos80°−sin100°cos170°【数Ⅰ】【図形と計量｜三角比の拡張】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.