▼ 解説のポイント
①連続性の判定： 1/x ＝ t と置き、x → ＋0（2^t → ∞）と x → －0（2^t → 0）での分母の挙動を調べ、ともに lim[x→0] f(x) ＝ 0 ＝ f(0) となることから x ＝ 0 で連続であることを示す
②微分可能性の判定： 微分係数の定義式 lim[h→0] {f(0＋h) － f(0)} / h を立式し、約分して 1 / (1 ＋ 2^(1/h)) の形を作る
③右側極限（h → ＋0）の計算： 2^(1/h) → ∞ より極限値は 0 となる
④左側極限（h → －0）の計算： 2^(1/h) → 0 より極限値は 1 となる
⑤右側・左側の微分係数が一致しないため、x ＝ 0 における微分係数は存在せず「微分可能ではない」と結論づける
★定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

#数学Ⅲ #微分法 #導関数 #連続性 #微分可能性 #指数関数 #左右の極限 #微分不能 #定期テスト対策 #高校数学 #理数個別チャンネル

The post 次の関数の x = 0 における連続性と微分可能性を調べよ。x != 0 のとき f(x) = x / (1 + 2^(1/x)) , f(0) = 0【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

▼ 解説のポイント
①連続性の判定： |sin(1/x)| ≦ 1 から 0 ≦ |x² sin(1/x)| ≦ x² の不成立を示し、はさみうちの原理から lim[x→0] f(x) ＝ 0 ＝ f(0) を導いて x ＝ 0 で連続であることを示す
②微分可能性の判定： 微分係数の定義式 lim[h→0] {f(0＋h) － f(0)} / h を立式し、約分して lim[h→0] h sin(1/h) の形を作る
③はさみうちの原理の再適用： |sin(1/h)| ≦ 1 から 0 ≦ |h sin(1/h)| ≦ |h| と挟み込み、極限値 0（＝ f'(0)）を導出する
④微分係数が定義できることから、x ＝ 0 で微分可能（かつ f'(0) ＝ 0）であることを結論づける
★定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

#数学Ⅲ #微分法 #導関数 #連続性 #微分可能性 #はさみうちの原理 #極限 #三角関数 #定期テスト対策 #高校数学 #理数個別チャンネル

The post 次の関数の x = 0 における連続性と微分可能性を調べよ。x ≠ 0 のとき f(x) = x^2 sin(1/x) , f(0) = 0【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

▼ 解説のポイント
①【n ＝ 1 のとき】左辺 (d/dx log x ＝ 1/x) と右辺 ((-1)⁰・0! / x¹ ＝ 1/x) が一致することを確認する（0! ＝ 1, (-1)⁰ ＝ 1 に注意）
②【n ＝ k のとき】等式が成り立つと仮定し、n ＝ k ＋ 1 の場合の左辺 dᵏ⁺¹/dxᵏ⁺¹ log x を 1階微分 と k階微分 に分解する
③k階微分の部分に帰納法の仮定 (-1)ᵏ⁻¹(k-1)! / xᵏ を代入し、定数項を括り出して 1/xᵏ （x⁻ᵏ）の部分を微分する
④微分により出てきた -1 と k を整理して (-1)ᵏ と k! にまとめ、n ＝ k ＋ 1 のときも成り立つことを証明する
★定期テスト前の復習や数学Ⅲの解法チェックにぜひご活用ください！

The post 次の等式を、数学的帰納法によって証明せよ。(d^n / dx^n) log x = (-1)^(n-1) * (n - 1)! / x^n【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post 次の関数は x＝1 で微分可能であることを証明せよ。x＜1 のとき　f(x)＝x² x≧1 のとき　f(x)＝2x－1【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post c は定数とし，関数 f(x) は x＝c で微分可能とする。このとき，次の極限値を c，f'(c) などを用いて表せ。 lim[x→c] {c²f(x)－x²f(c)}/(x－c)【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post c は定数とし，関数 f(x) は x＝c で微分可能とする。このとき，次の極限値を c，f'(c) などを用いて表せ。lim[h→0] {f(c＋h²)－f(c)}/h【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post c は定数とし，関数 f(x) は x＝c で微分可能とする。このとき，次の極限値を c，f'(c) などを用いて表せ。 lim[h→0] {f(c＋4h)－f(c－2h)}/h【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post c は定数とし，関数 f(x) は x＝c で微分可能とする。このとき，次の極限値を c，f'(c) などを用いて表せ。lim[h→0] {f(c＋3h)－f(c)}/h【数Ⅲ｜微分法：導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

扱う関数は、

（1）$y=x^{\sin x}$
（2）$y=x^{e^x}$
（3）$y=x^{\log x}$
（4）$y=x^{1/x}$
（5）$y=(\sin x)^x$（$0<x<\pi$）
（6）$y=(\log x)^x$（$x>1$）

です。

これらの関数は、$x^n$ の微分公式や $a^x$ の微分公式をそのまま使うことができないため、対数微分法を利用して微分します。まず両辺の対数をとり、指数部分を前に出すことで、積や商として微分できる形に変形することが基本的な流れです。

例えば $y=x^{\sin x}$ のように、底と指数の両方に $x$ が含まれる場合は、両辺の対数をとって

$\log y=\sin x\log x$

と変形します。その後、右辺を積の微分として処理し、最後に $y=x^{\sin x}$ を戻すことで導関数を求めます。

$y=x^{e^x}$ や $y=x^{\log x}$ についても同様に、**「まず対数をとる」→「指数を前に出す」→「微分する」→「元の $y$ を戻す」**という流れで計算します。指数部分が $e^x$、$\log x$、$1/x$ などに変わっても、対数微分法の基本的な考え方は共通しています。

また、$y=(\sin x)^x$ や $y=(\log x)^x$ のように、底が $x$ そのものではない場合にも対数微分法を利用できます。ここでは、対数をとった後に合成関数の微分や積の微分を正確に行うことが重要です。

特に、$\log(\sin x)$ や $\log(\log x)$ を微分するときは、内側の関数まで微分する必要があるため、合成関数の微分公式を忘れないように注意します。また、対数を利用するため、問題に示されている $0<x<\pi$ や $x>1$ といった条件も重要になります。

この動画では、対数微分法の基本手順、指数にも変数を含む関数の微分、積の微分、合成関数の微分、対数関数・指数関数を含む導関数の求め方をまとめて確認できます。

数Ⅲの微分を学習している方や、$x^x$ 型・$f(x)^{g(x)}$ 型の関数の微分方法を身につけたい方におすすめの内容です。学校の定期テスト対策はもちろん、大学入試で頻出する対数微分法の基礎固めや微分計算の演習としても活用できます。

The post 次の関数を微分せよ。（1）y=xˢⁱⁿˣ（2）y=xᵉˣ（3）y=xˡᵒᵍˣ（4）y=x¹/ˣ（5）y=（sinx）ˣ（0＜x＜π）（6）y=（logx）ˣ（x＞1）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post すべての実数xに対して，1+2x−3x²≦f（x）≦1+2x+3x²が成り立つような関数f（x）がある。このとき，f'（0）を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post f（x）=1/（x³+1）の逆関数f⁻¹（x）のx=1/9における微分係数を求めよ。【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.

The post 次の関数を微分せよ。（1）y=x/（1+x³）²（2）y=1/x⁴√x（3）y=x√（x²+2）（4）y=x/√（1−x²）【数Ⅲ】【微分とその応用｜導関数】 first appeared on 質問解決D.B.（データベース）.