曲線 $y=ax^2$ と曲線 $y=\log x$ がただ1点を共有し、その共有点で接線が一致するとき、定数 $a$ と共有点を求め、さらに2つの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題

を解説しています。

（1）では、まず2つの曲線が共有点をもつことから、同じ $x$ に対して

$ax^2=\log x$

が成り立ちます。さらに、共有点で接線が一致するという条件から、その点における2つの曲線の微分係数も等しくなります。

$y=ax^2$ と $y=\log x$ をそれぞれ微分し、**「関数の値が等しい」「導関数の値も等しい」**という2つの条件を連立することで、共有点の $x$ 座標と定数 $a$ を決定していきます。

この問題の重要なポイントは、「ただ1点を共有する」という条件を単なる交点の条件だけで考えるのではなく、接線が一致することを微分によって式にすることです。接する2つの曲線では、接点において関数値だけでなく傾きも一致します。

（2）では、（1）で求めた $a$ と共有点を利用して、2つの曲線と $x$ 軸で囲まれる領域を確認したうえで定積分を立てます。

面積を求める際には、区間ごとにどちらの曲線が上側にあるかを確認し、必要に応じて積分を分けて計算します。特に $\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わるため、共有点と $x$ 軸との交点を正しく把握して積分区間を設定することが重要です。

この問題では、前半で微分を使った接線・接点の条件を扱い、後半で定積分を使った面積計算へつなげます。数Ⅲで学習する微分法と積分法を組み合わせた典型的な総合問題です。

この動画は、数Ⅲの接線、共有点、接する条件、2次関数と対数関数、定積分による面積、曲線と $x$ 軸で囲まれた領域を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策や、大学入試に向けた微分・積分の融合問題の演習としても活用できます。

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扱う問題は、

（1）$x=2t$、$y=2t-t^2$（$0\leqq t\leqq2$）

（2）$x=\cos\theta$、$y=2\sin\theta$（$0\leqq\theta\leqq\pi$）

です。

この問題のポイントは、曲線が $y=f(x)$ の形で直接与えられているのではなく、$x$ と $y$ が媒介変数 $t$ や $\theta$ を使って表されていることです。そのため、通常の面積公式 $\int y,dx$ を、媒介変数を使った積分に書き換えて計算していきます。

（1）では、$x=2t$ から $\dfrac{dx}{dt}$ を求め、$y=2t-t^2$ と組み合わせて、面積を $t$ に関する定積分として表します。媒介変数表示された曲線では、$dx=\dfrac{dx}{dt}dt$ と置き換えることが基本です。さらに、$0\leqq t\leqq2$ の範囲で $x$ がどのように変化し、曲線が $x$ 軸のどちら側にあるかを確認してから積分します。

（2）では、$x=\cos\theta$、$y=2\sin\theta$ という三角関数による媒介変数表示を扱います。ここでも $\dfrac{dx}{d\theta}$ を求め、$y,dx$ を $\theta$ に関する式へ変換します。

特に（2）では、$\theta$ が $0$ から $\pi$ まで増加すると、$x=\cos\theta$ は減少します。そのため $\dfrac{dx}{d\theta}$ が負になることに注意し、積分区間の向きや面積が正になるように符号を正しく処理することが重要です。

また、$x=\cos\theta$、$y=2\sin\theta$ という表示から曲線の形を把握しておくと、どの部分の面積を計算しているのかを確認しやすくなります。媒介変数表示の面積問題では、計算だけでなく、パラメータが動く向きと曲線の形を確認することがミスを防ぐポイントです。

この動画では、媒介変数表示された曲線の面積、$\int y,dx$ の使い方、$dx/dt$・$dx/d\theta$ を利用した定積分への変換、三角関数を含む面積計算、積分区間と符号の考え方をまとめて確認できます。

数Ⅲの積分法、媒介変数表示、曲線と $x$ 軸で囲まれた面積を復習したい方におすすめです。学校の定期テスト対策はもちろん、大学入試で頻出する媒介変数表示と定積分を組み合わせた面積問題の基礎演習としても活用できます。

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