問題文全文(内容文)：
毎時4kmの速さで流れている川の上流にP市があり、P市の100km下流にQ市があります。流れがないところで毎時12kmの速さで船をこぐ水夫がQ市からP市に向かって出発しましたが、この水夫は3時間進むごとに1時間こぐのをやめます。このとき、次の問に答えなさい。
(1)出発してから4時間後に船はQ市から何kmのところにいますか。
(2) P市につくのは、Q市を出発してから何時間何分後ですか。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ pを3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(1)$\cos3\theta$と$\cos4\theta$を$\cos\theta$の式として表せ。
(2)$\cos\theta$=$\frac{1}{p}$のとき、θ=$\frac{m}{n}$・$\pi$となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

チェビシェフの多項式
$\cos n\theta$=$T_n$($\cos\theta$)を満たすn次の多項式$T_n(x)$が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が$2^{n-1}$である。
これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

2023京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
右図の三角形ABCで、 AF：FB＝3：4 BD：DC＝2：1 です。ADとCFの交点をGとし、BGの延長とACの交点をEとします。次の問いに答えよ。
(1)三角形ABGと三角形BCGと三角形ACGの面積比はいくつか。 (2)AE：ECはいくつか。 (3)BG：GEはいくつか。

問題文全文(内容文)：
(1)
\[
(16 \times 16 - \Box) \div \left(17 \div 1000 + 27 \div 250\right) = 2000
\]

(2) 2,3,4の3つの数の中から1つを選んで0に足していく操作を繰り返します。足した数の合計がちょうど8になって操作を終了したとき、次の①、②の場合、数の足し方はそれぞれ何通りありますか。
①足した数の順番が異なるものも同じものとして数える場合
②足した数の順番が異なるものは別のものとして数える場合

(3)図のように、正五角形と正八角形が1辺を共有して重なっています。
アの角度は何度ですか。小数で答えなさい。
※図は動画内参照

(4) 図のように、1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあり、正方形ABCDの対角線の交点をOとします。四角すいO-EFGH を立体Xとし、Xを4点A,F,GDを通る平面Yで切断するとき、OHと平面Yの交点をPとします。
①比OP:PHを最も簡単な整数比で答えなさい。
②点Oを含むほうの立体の体積は何㎤ですか。
※図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
2$\div \displaystyle \frac{1}{2}$