問題文全文(内容文)：
今回は共通テスト直後ということで、忘れがちな区分求積法について解説！

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{log\ 7}(\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x})^3dx$を計算せよ。

出典：2009年福岡教育大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}$
(1)$a$は$0 \lt a \leqq \displaystyle \frac{1}{2}$を満たす定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$a\left(x-\displaystyle \frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)$　が成り立つことを示しなさい。

(2)$b$を実数の定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$\log\left(1+\displaystyle \frac{1}{2}x\right) \leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\lim_{t \to +0}$$\int_0^{\displaystyle \frac{k}{n}}\displaystyle \frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }$である。また
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }$　である。

問題文全文(内容文)：
$\fbox{3} f(x)$を連続関数とするとき、次の各問いに答えよ。
(1)次の等式を示せ。$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(\sin 2x)\sin x dx=\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(\sin 2x)\cos x dx$
(2)次の等式を示せ。$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } f(\sin 2x)(\sin x+\cos x) dx=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(1-t^2)dt$
(3)次の定積分の値を求めよ。$\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{\sin x}{1+\sqrt{\sin 2x}} dx$

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(4)連続関数$f(x)$は区間$x \geqq 0$で正の値をとり、区間$x \gt 0$で微分可能
かつ$f'(x)\neq 0$であるとする。さらに、実数の定数aと関数$f(x)$が
$\int_0^x3t^2f(t)dt-(x^3+3)f(x)+\log f(x)=a　(x \geqq 0)$
を満たすとする。このとき
$a=-\boxed{\ \ ヌ\ \ }-\log\boxed{\ \ ネ\ \ }$
である。また、曲線$y=f(x)\ (x \gt 0)$の変曲点のx座標をpとすると
$p^3=\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハ\ \ }}$である。ただし、$\log x$は$x$の自然対数である。