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数学1A　大問3解説動画です

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第5問 (選択問題) (配点 20)

△ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直 線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に 点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとす る。

(1) 点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、△ABCの形状に関係なく

AD/DE＝ア/イ

である。また、点下の位置に関係なく

BP/AP＝ウ×エ/オ
CQ/AQ =　カ×キ/ク

であるので、つねに

BP/AP + CQ/AQ = ケ

となる。

エ

オ

キ

ク

の解答群(同じものを繰り返し選ん

でもよい。)

①BC

➁BF

③CF

④EF

⑤FP

⑥FQ

⑦PQ

数学1、数字A

[2] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41 ページの三角比の 表を用いてもよい。

太郎さんと花子さんは、キャンプ場のガイドブックにある地図を見なが ら、後のように話している。


参考図


太郎:キャンプ場の地点Aから山頂Bを見上げる角度はどれくらいか な。

花子:地図アプリを使って、地点Aと山頂Bを含む断面図を調べた ら、図1のようになったよ。点Cは、山頂Bから地点Aを通る 水平面に下ろした垂線とその水平面との交点のことだよ。

太郎:図1の角度は、AC、BCの長さを定規で測って、三角比の表を 用いて調べたら16°だったよ。

花子:本当に16なの? 図1の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等 しいのかな?

数学Ⅰ・数学A

[3] 外接円の半径が3である△ABCを考える。点Aから直線BCに引いた垂 線と直線BCとの交点をDとする。

(1) AB = 5 AC=4とする。このとき

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第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\mathrm{\angle }$PAB=$\mathrm{\angle }$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$　　...①
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta }$　④$\frac{1}{\cos \theta }$　⑤$\frac{1}{\tan \theta }$　
⑥$\sin \mathrm{\angle }$BPC　⑦$\cos \mathrm{\angle }$BPC　⑧$\tan \mathrm{\angle }$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\mathrm{\angle }$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$から$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つ。逆に、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$であることと同値である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがともに正三角形
①$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれ$\mathrm{\angle }$PBA=90°, $\mathrm{\angle }$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問

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第一問,
$|x+6|\leqq 2$
$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}\leqq x\leqq \mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$
$|(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)+6|2$
$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}\leqq (a-b)(c-d)\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{①}}}$
$(a-b)(c-d)=\mathrm{①}$でさらに$(a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3}$なら $(a-d)(c-b)=\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$

20232共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
2021年度「数学1A」共通テスト過去問解説です。