問題文全文(内容文)：
$x+ \frac{1}{y} = 1$ $y+ \frac{1}{z} = 1$
xyz=?

日本女子大学

問題文全文(内容文)：
サイコロを$n$回投げ、$k$回目の目を$a_k$。
$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n 10^{n-k}a_k$

次の確率を求めよ。
$S_n$が
（1）4の倍数
（2）6の倍数
（3）7の倍数

出典：2013年一橋大学　過去問

問題文全文(内容文)：

$\boxed{4}$

$xy$平面上に$2$つの定点$A(-1,0),B(1,0)$がある。

線分$AB$上の点$P$に対して、

$xy$平面上の点$Q$は以下の条件$(a),(b)$を

満たすとする。

$(a)$$P$と$Q$の$x$座標は等しく、

$Q$の$y$座標は正である。

$(b)$$AP+PQ+QB=4$

このとき、以下の問いに答えよ。

ただし、線分は両方の端点を含むものとする。

(1)$P$の座標を$(s,0)$とするとき、

$Q$の座標を$s$を用いて表せ。

(2)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、

$Q$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ。

(3)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、

線分$PQ$が通過する範囲の面積を求めよ。

$2025$年青山学院大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$　座標平面上の曲線Cを
C：$y$=$\frac{3}{x}$-8　($x$>0)
で定める。また$p$を正の定数とし、点$\left(p, \displaystyle\frac{3}{p}-8\right)$におけるCの接線を$l$とする。
さらに、$a$を実数とし、直線$y$=$ax$を$m$とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$l$の方程式を求めよ。
(2)$l$が原点を通るとき、$p$の値を求めよ。
(3)Cと$m$が異なる2点P,Qを共有するとき、$a$の値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、Qの$x$座標$x_0$はPの$x$座標$x_1$よりも大きいとする。$x_0$-$x_1$=1であるときの$a$の値を求めよ。
(5)(4)のとき、Cと直線$m$で囲まれる図形の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a,\ h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,\ y)$とする
と、$x,\ y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{ア})\ x^2+2\ \boxed{イ}\ x+y^2=\boxed{ウ}...(1)$

$\boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$の解答群
$⓪a^2 ①h^2 ②a^3 ③a^2h ④ah^2$
$⑤h^3 ⑥b^4 ⑦a^2h^2 ⑧ah^3 ⑨h^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\ \theta)$とする。$r \leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,\ y)$を$a,\ h,\ θ$を用いて表すと

$(x,\ y)=(\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \sin θ)...(2) $
$\boxed{エ},\ \boxed{オ}$の解答群
$⓪h①ah②h^2③ah^2④1+a\cos θ$
$⑤1+a\sin θ ⑥a\cos θ-1⑦a\sin θ-1⑧1-a\cos θ ⑨1-a\sin θ$

(1)から、$a=\boxed{カ}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2\int_0^{\boxed{ケ}}xdy=2\int_0^{\boxed{ケ}}(\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク})dy=$
$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}\ h^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}$

$\boxed{キ},\ \boxed{ク},\ \boxed{ケ}$の解答群
$⓪h ①2h ②\frac{h}{2} ③-\frac{h}{2} ④\frac{1}{h}$
$⑤-\frac{1}{h} ⑥\frac{1}{2h} ⑦-\frac{1}{2h} ⑧h^2 ⑨-h^2$

2022明治大学全統理系過去問