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【第5問】
(1) 円Oに対して、次の手順1で作図を行う。
[手順1]
(Step 1)　円Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線lを引く。円Oと直線lとの交点をA, Bとし、線分ABの中点Cをとる。
(Step 2)　円Oの周上に、点Dを$\mathrm{\angle }COD$が鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。
(Step 3)　点Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点をFとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。
(Step 4)　点Gにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をHとする。
このとき、直線lと点Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線である。このことは、次の構想に基づいて、後のように説明できる。
[構想]
直線EHが円Oの接線であることを証明するためには、$\mathrm{\angle }OEH=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}°$であることを示せばよい。
手順1の(Step 1)と(Step 4)により、4点C, G, H, $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$は同一円周上にあることがわかる。よって、$\mathrm{\angle }CHG=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$である。一方、点Eは円Oの周上にあることから、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$がわかる。よって、$\mathrm{\angle }CHG=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$であるので、4点C, G, H, $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$は同一円周上にある。この円が点$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$を通ることにより、$\mathrm{\angle }OEH=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}°$を示すことができる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$の解答群
⓪B　①D　②F　③O
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{\angle }AFC$　①$\mathrm{\angle }CDF$　②$\mathrm{\angle }CGH$　③$\mathrm{\angle }CBO$　④$\mathrm{\angle }FOG$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{\angle }AED$　①$\mathrm{\angle }ADE$　②$\mathrm{\angle }BOE$　③$\mathrm{\angle }DEG$　④$\mathrm{\angle }EOH$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}$の解答群
⓪A　①D　②E　③F
(2)　円Oに対して、(1)の手順1とは直線lの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。
[手順2]
(Step 1)　円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
(Step 2)　円Oの周上に、点Qを$\mathrm{\angle }POQ$が鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
(Step 3)　点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
(Step 4)　点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、$\mathrm{\angle }PTS=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}$である。
円Oの半径が$\sqrt{5}$で、OT=$3\sqrt{6}$であったとすると、3点O, P, Rを通る円の半径は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}$であり、RT=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{\angle }PQS$　①$\mathrm{\angle }PST$　②$\mathrm{\angle }QPS$　③$\mathrm{\angle }QRS$　④$\mathrm{\angle }SRT$

2023共通テスト過去問

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第4問
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。
(1)横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1(※動画参照)のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}$である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}\mathrm{オ}\mathrm{カ}}}$のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}\mathrm{サ}\mathrm{シ}}}$のものである。
(2)花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2(※動画参照)のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$のものであり、図2のような長方形は縦の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$であり、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$の倍数のうちで$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}\mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$の倍数でもある最小の正の整数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}\mathrm{ト}\mathrm{ナ}}}$である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$のものであることがわかる。

2023共通テスト過去問

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共通テスト2023数学1A 第4問解説していきます.