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$y=x^3-3x^2+2x$を求めよ

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第3問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N(m, $\sigma^2$)に従うとする。
(i)この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがm g以上である確率P(X≧m)は
P(X≧m)=P$\left(\frac{X-m}{\sigma}\geqq \boxed{\ \ ア\ \ }\right)$=$\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
である。
(ii)母集団から無作為に抽出された大きさnの標本$X_1$, $X_2$, ..., $X_n$の標本平均を$\bar{X}$とする。$\bar{X}$の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ
E($\bar{X}$)=$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$,　σ($\bar{X}$)=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
となる。
n=400,　標本平均が30.0g,　標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90%の信頼区間を次の方針で求めよう。
方針：Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数として、P($-z_0 \leqq Z \leqq z_0$)=0.901 となる$z_0$を正規分布表から求める。この$z_0$を用いるとmの信頼度90.1%の信頼区間が求められるが、これを信頼度90%の信頼区間とみなして考える。
方針において、$z_0$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$.$\boxed{\ \ キク\ \ }$である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。n=400は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90%の信頼区間は$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪σ　①$\sigma^2$　②$\frac{\sigma}{\sqrt n}$　③$\frac{\sigma^2}{n}$
④m　⑤2m　⑥$m^2$　⑦$\sqrt m$　
⑧$\frac{\sigma}{n}$　⑨$n\sigma　$ⓐ$nm$　ⓑ$\frac{m}{n}$
$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪28.6≦m≦31.4　①28.7≦m≦31.3　②28.9≦m≦31.1　
③29.6≦m≦30.4　④29.7≦m≦30.3　⑤29.9≦m≦30.1
(2)(1)の確率変数Xにおいて、m=30.0, σ=3.6とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分数を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。
ピーマン分類法：無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
(i)ピーマンを無作為に50個抽出した時、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率$p_0$を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は$\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_0$とすると、$U_0$は二項分布$B\left(50, \frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$に従うので
$p_0$=${}_{50}C_{\boxed{シス}}×\left(\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)^{\boxed{シス}}×\left(1-\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)^{50-\boxed{シス}}$
となる。
$p_0$を計算すると、$p_0$=0.1122...となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。
(ii)ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。
kを自然数とし、ピーマンを無作為に(50+k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_k$とすると、$U_k$は二項分布$B\left(50+k, \frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$に従う。
(50+k)は十分に大きいので、$U_k$は近似的に正規分布$N\left(\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}, \boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\right)$に従い、$Y=\frac{U_k-\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}}}$とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を$p_k$とすると
$p_k$=$P(25 \leqq U_k \leqq 25+k)$=$P\left(-\frac{\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\sqrt{50+k}} \leqq Y \leqq \frac{\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\sqrt{50+k}}\right)$
となる。
$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$=a, $\sqrt{50+k}$=$\beta$とおく。
$p_k$≧0.95になるような$\frac{\alpha}{\beta}$について、正規分布表から$\frac{\alpha}{\beta}$≧1.96を満たせばよいことが分かる。ここでは
$\frac{\alpha}{\beta}$≧2　...①
を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、$\alpha^2$≧4$\beta^2$を満たす最小のkを$k_0$とすると、$k_0$=$\boxed{\ \ チツ\ \ }$であることがわかる。ただし、$\boxed{\ \ チツ\ \ }$の計算においては、$\sqrt{51}=7.14$を用いてもよい。
したがって、少なくとも(50+$\boxed{\ \ チツ\ \ }$)個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。
$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$～$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪k　①2k　②3k　③$\frac{50+k}{2}$
④$\frac{25+k}{2}$　⑤25+k　⑥$\frac{\sqrt{50+k}}{2}$　⑦$\frac{50+k}{4}$

2023共通テスト過去問

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上岡先生が2024年共通テスト数学1Aを講評します。

復習の際の参考にしましょう！

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共通テスト(プレテスト)【数学ⅠA】解説動画です

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\begin{eqnarray}
[2]a,bは正の実数であり、a≠1,b≠1を満たすとする。太郎さんは\\
\log_abと\log_baの大小関係を調べることにした。\\
(1)太郎さんは次のような考察をした。\\
まず、\log_39=\boxed{\ \ ス\ \ },　\log_93=\frac{1}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である、この場合\\
\\
\log_39 \gt \log_93\\
\\
が成り立つ。\\
一方、\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ }=-\frac{3}{2},\log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}である。この場合\\
\\
\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ } \lt \log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}\\
\\
が成り立つ。\\
(2)ここで\\
log_ab=t　\ldots①\\
とおく。\\
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、\\
それが正しいことを確かめることにした。\\
\log_ba=\frac{1}{t}　\ldots②\\
①により、\boxed{\ \ ソ\ \ }である。このことにより\boxed{\ \ タ\ \ }が得られ、②が\\
成り立つことが確かめられる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ソ\ \ }の解答群\\
⓪a^k=t　①a^t=b　②b^a=t\\
③b^t=a　④t^a=b　⑤t^b=a\\
\\
\boxed{\ \ タ\ \ }の解答群\\
⓪a=t^{\frac{1}{b}}　①a=b^{\frac{1}{t}}　②b=t^{\frac{1}{a}}\\
③b=a^{\frac{1}{t}}　④t=b^{\frac{1}{a}}　⑤t=a^{\frac{1}{b}}\\
\\
(3)次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして\\
t \gt \frac{1}{t}　\ldots③\\
を満たす実数t(t≠0)の値の範囲を求めた。\\
\\
太郎さんの考察\\
t \gt 0ならば、③の両辺にtを掛けることにより、t^2 \gt 1を得る。\\
このようなt(t \gt 0)の値の範囲は1 \lt tである。\\
t \lt 0ならば、③の両辺にtを掛けることにより、t^2 \lt 1を得る。\\
このようなt(t \lt 0)の値の範囲は-1 \lt t \lt 0である。\\
\\
この考察により、③を満たすt(t≠0)の値の範囲は\\
-1 \lt t \lt 0,　1 \lt t\\
であることが分かる。\\
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式\\
\log_ab \gt \log_ba　\ldots④\\
を満たす実数b(b \gt 0,　b≠1)の値の範囲について考える。\\
④を満たすbの値の範囲はa \gt 1のときは\boxed{\ \ チ\ \ }であり、\\
0 \lt a \lt 1のときは\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ チ\ \ }の解答群\\
⓪0 \lt b \lt \frac{1}{a},　1 \lt b \lt a　　　①0 \lt b \lt \frac{1}{a},　a \lt b\\
②\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt a　　　③\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　a \lt b\\
\\
\\
\boxed{\ \ ツ\ \ }の解答群\\
⓪0 \lt b \lt a,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　①0 \lt b \lt a,　\frac{1}{a} \lt b\\
②a \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　③a \lt b \lt 1,　\frac{1}{a} \lt b\\
\\
\\
(4)p=\frac{12}{13},　q=\frac{12}{11},　r=\frac{14}{13}とする。\\
次の⓪～③のうち、正しいものは\boxed{\ \ テ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ テ\ \ }の解答群\\
⓪\log_pq \gt \log_qpかつ\log_pr \gt \log_rp\\
①\log_pq \gt \log_qpかつ\log_pr \lt \log_rp\\
②\log_pq \lt \log_qpかつ\log_pr \gt \log_rp\\
③\log_pq \lt \log_qpかつ\log_pr \lt \log_rp\\
\end{eqnarray}

2022共通テスト数学過去問