問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第1問(1)対数関数を徹底解説します

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第1問}\\
[1]　(1)\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\log_{10}5,\log_{10}15をそれぞれ\\
\log_{10}2と\log_{10}3を用いて表すと\\
\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }\\
(2)太郎さんと花子さんは、15^{20}について話している。\\
以下では、\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771とする。\\
\\
太郎:15^{20}は何桁の数だろう。\\
花子:15の20乗を求めるのは大変だね。\log_{10}15^{20}の整数部分に\\
着目してみようよ。\\
\\
\log_{10}15^{20}は\\
\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1\\
を満たす。よって、15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }桁の数である。\\
\\
太郎:15^{20}の最高位の数字も知りたいね。だけど、\log_{10}15^{20}の\\
整数部分にだけ着目してもわからないな。\\
花子:N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}を満たすような\\
正の整数Nに着目してみたらどうかな。\\
\\
\log_{10}15^{20}の小数部分は\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }であり\\
\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)\\
が成り立つので、15^{20}の最高位の数字はboxed{\ \ サ\ \ }である。\\
\\
\\
[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点P(\cos\theta,\sin\theta),\\
Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)がある。ただし、0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi\\
とする。このとき、sとtを次のように定める。\\
s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta,　t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta\\
\\
(1)\triangle PQRが正三角形や二等辺三角形のときのsとtの値について考察しよう。\\
考察1:\triangle PQRが正三角形である場合を考える。\\
この場合、\alpha,\betaを\thetaで表すと\\
\alpha=\theta+\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi,　\beta=\theta+\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi\\
であり、加法定理により\\
\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},　\sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
である。同様に、\cos\betaおよび\sin\betaを、\sin\thetaと\cos\thetaを用いて表すことができる。\\
これらのことから、s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　①\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta　\\
②\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　③\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta　\\
④-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　⑤-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta　\\
②-\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta　③-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta　\\
\\
考察2:\triangle PQRがPQ=PRとなる二等辺三角形である場合を考える。\\
\\
例えば、点Pが直線y=x上にあり、点Q,Rが直線y=xに関して対称\\
であるときを考える。このとき、\theta=\frac{\pi}{4}である。また、\alphaは\\
\alpha \lt \frac{5}{4}\pi,　\betaは\frac{5}{4}\pi \lt \betaを満たし、点Q,Rの座標について、\\
\sin\beta=\cos\alpha,　\cos\beta=\sin\alphaが成り立つ。よって\\
s=t=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha\\
である。\\
ここで、三角関数の合成により\\
\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)\\
である。したがって\\
\\
\alpha=\frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi,　\beta=\frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi\\
\\
のとき、s=t=0である。\\
\\
(2)次に、sとtの値を定めるときの\theta,\alpha,\betaの関係について考察しよう。\\
考察3:s=t=0の場合を考える。\\
\\
この場合、\sin^2\theta+\cos^2\theta=1により、\alphaと\betaについて考えると\\
\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
である。\\
同様に、\thetaと\alphaについて考えると\\
\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
であるから、\theta,\alpha,\betaの範囲に注意すると\\
\beta-\alpha=\alpha-\theta=\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi\\
という関係が得られる。\\
\\
(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、\\
正しいものは\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}であることが分かる。\\
\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}の解答群\\
⓪\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0ならば\\
\triangle PQRは正三角形である。\\
①\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0で\\
あっても\triangle PQRは正三角形でない場合がある。\\
②\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があるが\\
s=t=0ならば\triangle PQRは正三角形である。\\
③\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があり、\\
s=t=0であっても\triangle PQRが正三角形でない場合がある。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
第3問\ 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントは\\
全て異なるとする。\\
プレゼントの交換は次の手順で行う。\\
手順:外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、\\
各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の\\
プレゼントを受け取る。\\
\\
交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。\\
そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。\\
(1)2人または3人で交換会を開く場合を考える。\\
(\textrm{i})2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は\\
\boxed{\ \ ア\ \ }通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}である。\\
(\textrm{ii})3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は\\
\boxed{\ \ エ\ \ }通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}である。\\
(\textrm{iii})3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}である。\\
\\
\\
(2)4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を\\
次の構想に基づいて求めてみよう。\\
構想:1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。\\
そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。\\
\\
1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は\\
\boxed{\ \ サ\ \ }通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は\boxed{\ \ シ\ \ }通りある。\\
このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が\\
終了しない受け取り方の総数は\boxed{\ \ スセ\ \ }である。\\
したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}である。\\
\\
(3)5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テト\ \ }}である。\\
\\
(4)A,B,C,D,Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA,B,C,Dがそれぞれ自分以外\\
の人の持参したプレゼントを受け取った時、その回で交換会が終了する\\
条件付き確率は\frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}である。\\
\end{eqnarray}