問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
0≦θ＜2πのとき，次の方程式を解け。
(1) $\sin (θ-\displaystyle \frac{π}{3})=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\cos (θ+\displaystyle \frac{π}{6})=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
(3) $\tan (θ+\displaystyle \frac{π}{4})=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
(4) $\cos (θ-\displaystyle \frac{π}{6})=-1$

問題文全文(内容文)：
次の式を因数分解せよ。
(1)$9a^3b+3a^2b^2-3ab^2$
(2)$5a^3-20ab^2$
(3)$10a^2+14ab-12b^2$
(4)$xy-x-y+1$
(5)$ab+bc-cd-da$
(6)$a^2+b^2+2bc+2ca+2ab$

問題文全文(内容文)：
θの範囲に制限がないとき，次の不等式を解け。
(1) $2sinθ≧\sqrt{3}$
(2) $2cosθ＜√2$
(3) $\sqrt{3}tanθ＞1$

問題文全文(内容文)：
問３５　数列8,a,bが等差数列で、数列a,b,36が等比数列であるとき、a,bの値を求めよ。

問３６　等比数列をなす3つの実数があって，それらの和が19,積が216であるという。これら3つの実数を求めよ。

問３７　数列2, 6,……,954,……がある。この数列は等差数列となることができるか。また等比数列になることができるか。

問題文全文(内容文)：
次の関数の周期を求めよ。また，そのグラフをかけ。
(3) y＝2sin(2θ＋π/3)＋1

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問題文全文(内容文)：
次の関数の周期を求めよ。また，そのグラフをかけ。
(2) y＝tan(θ/2－π/3)

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問題文全文(内容文)：
次の関数の周期を求めよ。また，そのグラフをかけ。
(1) y＝cos(3θ－π/2)

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問題文全文(内容文)：
三角関数（sin,cos,tan）のグラフの書き方を徹底解説！周期、基本の形から確認！

問題文全文(内容文)：
数列$\log_{ 2} a_n$が初項2、公差-1である等差数列であるとき、
数列$a_n$は等比数列であることを示せ。
また、初項と公比を求めよ

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)(x²+x)(x²+x-3)を展開すると、□となる.
(2)2x²-5xy-3y²を因数分解すると、□となる.
(3)α=3+√6、β=3-√6について、αβの値は□であり、□である.
(4)θは鋭角とする.tanθ=√3のとき、cosθ=□である.
(5)不等式-x＜3x-4＜xの解は□である.
(6)次のデータがある。6,3,5,2,2,7,1,4,8 このデータの第3四分位数は□であり、四分位範囲は□である.

第2問[1]：図形と計量
三角形ABCがあり、AB=4,AC=5,cos∠BAC=1/8である。
(1)sin∠BACの値を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。
(2)辺AC(両端を除く)上に点Dをとり、三角形BCDの外接円の半径をRとする。
(i)∠BDC=θとおくとき、sinθをRを用いて表せ.
(ii)R=4のとき、線分BDの長さと線分ADの長さを求めよ.

[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に1,2,3,4である場合はN=1234となる。　
(1)Nは全部で何個できるか.
(2)2126,3335のように、同じ数を含むNは何個できるか．
(3)4321より大きいNは何個できるか.

第3問：2次関数
xの2次関数f(x)=x²-2x+2があり、放物線y=f(x)をC₁とする。
(1)(i)C₁の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)pを正の整数とする。C₁をx軸の方向にp、y軸方向に-pだけ平行移動した放物線をC₂とし、C₂の方程式をy=g(x)とする。
(i)C₂の頂点の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるg(x)の最小値をmとする。mをpを用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つようなpの値の範囲を求めよ。
　 (A)0≦x≦4を満たすすべての実数xにg(x)＞0
(B)0≦x≦4を満たすある実数xに対してg(x)＞8

第4問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とし、cを0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
x²-6x+10=0 …①
x²-ax+b=0 …②
があり、②の2つの解は1+ci、1-ciである。ただし、iは虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)aの値を求めよ。また、bをcを用いて表せ。
(3)dを実数の定数とする。多項式P(x)があり、P(x)を2次式x²-ax+b=0で割ると、商は x²-6x+10=0、余りはcx+dである。
　(i)P(1+ci)を p+qi (p,qは実数であり、いずれもc,dで表された式)の形で表せ。
　(ii)①の２つの解をα,βと表し、複素数の集合A,Bを
　A={α,β,1+ci,1-ci}、B={P(α)，P(β)，P(1+ci)，P(1-ci)}
　と定める。A=Bとなるようなb,c,dの組(b.c,d)をすべて求めよ。ただし、A=Bとは、Aの要素とBの要素がすべて一致することである。

第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
・ある硬貨を484回投げたところ、おもてが222回出た。この硬貨は、表と裏の出方に偏りがあると判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。
・あるテレビ番組の視聴率は従来10%であった。無作為に400世帯を選んで調査したところ、48世帯が視聴していることがわかった。視聴率は従来よりも上がったと判断してよいか。有意水準5%で検定せよ。

問題文全文(内容文)：

$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$

について、次の問いに答えなさい。
(1) f(x)の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) xy平面における曲線y＝f(x)は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。

問題文全文(内容文)：
・ある試験を受けた高校生の中から、100人を任意に選んだところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、母平均を信頼度95%で推定せよ。
・ある町の有権者2500人を無作為に抽出して、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この町のA政党支持率を信頼度95%で推定せよ。

問題文全文(内容文)：
1 (4STEP問題91)
次の2次方程式を解け。
(1)$3(x+1)^2-2(x+1)-1=0$
(2)$2(x-1)^2-4(x-1)+3=0$
(3)$x^2-\sqrt{2} x+\sqrt{2} -1=0$
(4)$x^2-2x+9+2\sqrt{15}=0$

2 (4STEP問題92)
kは定数とする。次の方程式の解の種類を判別せよ。
(1)$kx^2-3x+1=0$
(2)$(k^2-1) x^2+2(k-1)+2=0$

問題文全文(内容文)：
・母平均120、母標準偏差30をもつ母集団から大きさ100の無作為標本を抽出するとき、その標本平均$\bar{X}$が123より大きい値をとる確率を求めよ。
・ある国の有権者の内閣支持率が50%であるとき、無作為に抽出した400人の有権者の内閣支持率をRとする。Rが48%以上、52%以下である確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
方程式$xy+yz+zx=xyz$を満たす自然数
$x,y,z$の組をすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
・1000人の生徒に数学のテストを行ったところ、その成績は平均48点、標準偏差15点であった。成績が正規分布に従うものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ある生徒の点数が78点以上である確率を求めよ。
(2) 78点以上の生徒は約何人いると考えられるか。
(3) 30点以下の生徒は約何人いると考えられるか。

・ある植物の種子の発芽率は80%であるという。この植物の種子を900個まいたとき、次の問いに答えよ。
(1) 750個以上の種子が発芽する確率を求めよ。
(2) 900個のうちn個以上の種子が発芽する確率が80%以上となるようなnの最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\sqrt{2}=1.4142$, $\sqrt{3}=1.7321$
とするとき, 分母の有理化を利用して, 次の値を求めよ。
(1) $\dfrac{10}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (2) $\dfrac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{2}}$


$x=1-\sqrt{5}$
のとき, 次の式の値を求めよ。

(1) $x^2－2x－4$ (2) $x^3－2x^2$

問題文全文(内容文)：
$N=p^2q$($p,q$は異なる素数)と表される数で
約数の総和が$2N$に等しいものをすべて求めよ。

問題文全文(内容文)：
・次の二項分布の平均、分散と標準偏差を求めよ。
$\displaystyle B(5,\frac{1}{6})$
・1個のさいころを8回投げるとき、4以上の目が出る回数をXとする。
(1) 4以上の目が3回以上出る確率を求めよ。
(2) 確率変数Xの期待値と標準偏差を求めよ。

問題文全文(内容文)：
・500円硬貨2枚と100円硬貨1枚を同時に投げる。表の出た硬貨の金額の和の期待値を求めよ。
・Aは2枚、Bは3枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数をそれぞれX,Yとするとき、積XYの期待値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
・3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る枚数をXとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。
・1個のサイコロを1回投げるとき、出る目の数をXとする。Xの期待値、分散、標準偏差を求めよ。

問題文全文(内容文)：
1 (4STEP問題82)
2つの複素数a+biと2-3iの和が純虚数、積が実数となるように、実数a,bの値を求めよ。

2(4STEP問題83)
虚数α,βの和、積がともに実数ならば、αとβは互いに共役であることを示せ。

問題文全文(内容文)：
$x=\dfrac{\sqrt{ 5 }＋2}{\sqrt{ 5 }-2}$ , $y=\dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{\sqrt{ 5 }+2}$

のとき, 次の式の値を求めよ。

(1) $x＋y$ (2) $xy$ (3) $x^2y＋xy^2 $
(4) $x^2＋y^2$ (5) $x^3＋y^3$



$x=\sqrt{ 2 }-1$
のとき, 次の式の値を求めよ。
(1) $x+\dfrac{1}{x}$ (2) $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ (3) $x^3+\dfrac{1}{x^3}$
(4) $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ (5) $x^5+\dfrac{1}{x^5}$

問題文全文(内容文)：
【北海道大学 2024】
関数
$f(x)=xlog(x+2)+1 (x＞-2)$
を考える。$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする。$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする。ただし、$logt$は$t$の自然対数である。
(1) 直線$l$の方程式を求めよ。
(2) 曲線$C$は下に凸であることを証明せよ。
(3) $C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
【弘前大学 2023】
$\displaystyle \int_\frac{-π}{4}^\frac{π}{3}\frac{x}{cos^2x}dx$

問題文全文(内容文)：
■【岩手大学 2023】
(1) 不定積分$\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x-1}}dx$を求めよ
(2) 次の曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
$\displaystyle y=cos2x+\frac{1}{2} (\frac{π}{4}≦x≦\frac{3}{4}π)$
(3) 曲線$y=\sqrt{x+1}e^{2x}$と$x$軸、$y$軸、および直線$x=1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
【秋田大学 2023】
座標平面上に媒介変数$θ$を用いて
$x=2cosθ, y=1+sinθ$
と表される曲線$C$がある。次の問いに答えなさい。
(i) 媒介変数$θ$を消去して$x$と$y$の関係式を求めなさい。
(ii) $\displaystyle θ=\frac{π}{6}$に対応する点における$C$の接線$l$の方程式を求めなさい。
(iii) 曲線$C$と(ii)の接線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。