問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)12/(3-√5)の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)b²+10bの値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数f(x)=2x²-6x+aの0≦x≦1における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、AB=3、BC=4、CA=2である。cos∠BACの値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式x³-x²-x-2=0を解け。
(5)円x²+y²=4上の点(1, √3)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式4^x-5・2-(x+1)+24=0を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、OA=√3-1、OB=√2、∠AOB=3π/4が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。∠AOD=θ(0＜θ＜3π/4)とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積をθを用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積をsinθ、cosθを用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与えるθの値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、N=12とし、123と並べたときは3桁の数で、N=123とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数f(x)=x³+ax²+bx+a²はx=-1で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)y=f(x)のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順にα、β、γとする。
(i)α＞-3を示せ。
(ii)P(3,0)、B(β,0)、C(γ,0)とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列{a[n]}{b[n]}がa[1]=3/2、a[n+1]=3/2a[n]-1/2 (n=1,2,3,...) b[1]=p、b[n+1]=b[n]+p-1/2(3/2)^(n-1) (n=1,2,3,...) を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)a[n]をnの式で表せ。
(2)b[n]をpとnの式で表せ。
(3)c[n]=b[n]-a[n]とする。c[n]がn=4で最大となるようなpの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数学でとれなかったのは仕方ない？！
「2018年5月全統マーク」についてお話しています。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) x⁴-5x²+4を因数分解せよ。
(2) 多項式P(x)をx-2で割ると、商がx²+2x+4で、余りが3となるとき、P(x)を求めよ。
(3) kを実数の定数とする。2次関数 y=x²+4x+k の最小値が3であるとき、 kの値を求めよ。
(4) iを虚数単位とする。 i³(2+i) を a+bi (a, bは実数)の形で表せ。
(5) AB=5、BC=6、0°＜∠ABC＜90°,面積が6√6である三角形ABCにおいて、sin∠ABCの値とCAの長さを求めよ。
(6) 7個の数字1,2,3,4,5,6,7から、異なる3個を選び、それらを並べて3桁の整数を作る。このとき、3桁の整数は全部で何個あるか、また、3桁の偶数は何個あるか。

大問2-1:2次不等式
実数xについての2つの不等式
3x²-11x+6≤0...①
│x-a│＜1...②
がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1) ①を解け、
(2) a=2のとき、②を解け、
(3) ①かつ②を満たす整数xが、ちょうど2個存在するようなの値の範囲を求めよ。

大問2-2:図形と方程式
xy平面上に、
円C:x²+y²-4x-2y+3=0
直線l:x-2y+a=0
があり、Cの中心をA、半径をrとする。ただし、aは正の定数とする。
(1) Aの座標との値を求めよ。
(2) Cとしが異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、Cとの異なる2つの交点をP, Qとする、が(2)で求めた範囲を動くとき、三角形APQの面積が最大となるようなaの値を求めよ。

大問3:高次方程式
xの3次式
f(x)=x³-(k+2)x²+(k²+2k-2)x-k³+2k
と、xの3次方程式
f(x)=0...(*)
がある。ただし、kは正の定数とする。
(1) f(k)を求めよ。
(2) k=1のとき、(*)を解け。
(3) (*)が異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ。また、そのとき、(*)を解け。
(4) 実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]と表す。例えば、[3.5]=3、[2]=2である、(3)のとき、次の条件(#)が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。
条件(#): (*)の異なる2解α、βで[α]=[β]を満たすものが存在する。

大問4:確率
数直線上に点Pがある。最初、Pは原点にあり、1枚のコインを1回投げるごとに、表が出たときはPを正の方向に1だけ動かし、裏が出たときはPを負の方向に1だけ動かす。また、Pを初めて正または負の方向に1だけ動かした後、Pが原点に戻るたびに1点を獲得するものとする。
(1) コインを2回投げたとき、Pが原点にある確率を求めよ。
(2) コインを4回投げたとき、
(i) Pが原点にある確率を求めよ。
(ii) 4回目に初めて1点を獲得する確率を求めよ。
(iii) 獲得する点数の合計の期待値を求めよ。
(3) コインを6回投げたとき、1点も獲得しない確率を求めよ。


大問5:三角関数
kを実数の定数とする。以下のような、θの方程式①との不等式②がある。
tan=k...①
2cosθ+1≧0...②
(1) k=1のとき、0≦θ＜2πにおいて、①を解け。
(2) 0≦θ＜2πにおいて、②を解け。
(3) 0≦θ＜2πにおける①の解は2個ある。その2個の解の和が4π/3となるようなんの値を求めよ。
(4) (2)で求めたθの値の範囲における①の解が、2個あるときを考える。その2個の解をα, β(α＜β) とする。
(i) kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii) α+β≧7π/4となるようなkの値の範囲を求めよ。

大問6:数列
等差数列{a_n} (n=1,2,3,...) があり、
a₄=28、a₁₀=76
である。また、数列{b_n} (n=1,2,3,...)があり、その一般項は、
b_n=n²-n+2
である。
(1) 数列{a_n}の一般項a_nを求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2) 数列{b_n}の階差数列を{c_n}(n=1,2,3,...) とするとき、数列{c_n}の一般項c_nを求めよ。
(3) (1), (2) で求めたS_n, c_nに対して、次の連立不等式を満たす整数x、yの組(x,y)の個数をA_n(n=1,2,3,...)とする。
1≦x≦c_n、1≦y≦S_n、x²≦y≦4x²
(i) A₂を求めよ。
(ii) A_nを求めよ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(x+y+2)^2$を展開せよ。
(2)$\dfrac{x^2-2x}{x^2+4x+3}\times\dfrac{2x+2}{x-2}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=2x^2-8x+9 (0\leqq x\leqq 1)$における最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\dfrac{2+i}{1-3i}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=3, BC=4\sqrt2, CA=5$である三角形ABCにおいて、$\cos\angle ABC$を求めよ。また、三 角形ABCの面積を求めよ。
(6)男子6人、女子4人の合計10人から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りか。 また、そのうち、女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りか。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式$2x^2-3x+1＜0$を解け。
(2)$(3x+y)^4$を展開したときの$x^2y^2$の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線$l_1:3x-y+5=0,l_2:mx+2y+4=0$が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式$4^x=2\sqrt{2}$を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条件でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$P(x)=x^3+(2a-1)x^2-(a^2+2a-2)x+b$があり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、$\displaystyle\frac{y-a}{x-2}$の最大値をM(a)とする。M($\frac{1}{2}$)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=$\frac{π}{2}$,∠AOB=θ(0＜θ＜$\frac{π}{4}$)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) $BP^2$をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=x^3+kx^2-kx+k^2$がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列{$a_n$}を$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}},a_2=\sqrt{2},a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}=n+1(n=1,2,3,...)$により定める。また、数列{$b_n$}を$b_n=a_{n+1}a_{n}(n=1,2,3,･･･)$により定める。
(1)$b_1$を求めよ。また、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(2)数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
(3)$c_n=\displaystyle\frac{\sqrt{2}a_n}{n}(n=1,2,3,…)$とおく。$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ。また、数列{$c_n$}の一般項を求めよ。
(4)$a_n＞50$を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^N\frac{2k+1}{{a_{n+1}}^2{a_n}²}$を求めよ。