問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)2次不等式$x^2+5x-6\lt 0$を解け。
(2)9人の生徒を3人ずつA,B,Cの3つの組に分けるとき、分け方は何通りか。
(3)次のデータがある。3,5,5,6,7,10.このデータの平均値を求めよ。また、分散を求めよ。
(4)$(4x+1)^5$を展開したとき、$x^2$の係数を求めよ。
(5)xの整式$x^3-3x^2+ax-a$ (aは定数)がx-2で割り切れるとき、aの値を求めよ。
(6)$a\neq 0,b\neq 0$とする。 $(ab)^5\times (a^2)^{-3}\div (b^2)^2$を計算せよ。
(7)整数m,nについて、$m+n$が偶数であることは、mnが偶数であるための$\Box$である。
(選択肢)
①必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件ではない
③十分条件であるが、必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない

大問2[1]：式と証明
次のような問題がある。
問1 すべての実数xに対して、不等式 $x^2+x+1\geqq 3x-2 …$(＊)が成り立つことを証明せよ。
問2 $x\geqq 2$のとき、関数$ f(x)=\dfrac{x+2}{x}$ の最小値を求めよ。
太郎さんはこの問題の解答を次のように書いた。
問1 $(x^2+x+1)-(3x-2)=x^2-2x+3=(a-1)^2+2$ すべての実数xに対して、$(x-1)^2\geqq 0$であるから、$(a-1)^2+2\geqq 0$ よって、$x^2+x+1\geqq 3x-2$ は成り立つ。
問2 $x\geqq 2$のとき、$x\gt 0,\dfrac{2}{x}\gt 0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、$\dfrac{x+2}{x}\geqq 2\sqrt x\times \dfrac{2}{x}$ これより、$f(x)\geqq 2\sqrt2$ よって、f(x)の最小値は$2\sqrt2$である。
(1)太郎さんの問1の解答は正しいか、正しくないか答えよ(答えのみでよい)。また、xが実数のとき、問1の不等式(＊)において、等号が成り立つか成り立たないか答えよ。さらに、その理由を「実数」「実数解」のいずれかの単語を用いて説明せよ。

大問2[2]：確率
1～4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚のカードが入っている袋がある。この袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、カードに書かれた数を記録して袋に戻すことを繰り返し4回行う。
(1)4回とも1が記録される確率を求めよ。
(2)4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ。
(3)記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
aは実数の定数とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(-1,4)と円C:$x^2+y^2-2(a+1)x-4ay+5a^2+2a=0$があり、Cの中心をPとする。
(1)線分ABの長さと、直線ABの方程式を求めよ。
(2)$a=1$のとき、Pの座標を求めよ。また、このときのPと直線ABの距離を求めよ。
(3)aが実数全体を変化するとき、Pの軌跡を求めよ。
(4)aの値が$1\leqq a\leqq 3$の範囲を変化するとき、Cが通過する領域をDとする。点QがDを動くとき、三角形ABQの面積の最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
座標平面上に2点A(8,0)、B(0,8)と、原点を中心とする半径3の円がある。この円上に、x座標、y座標がともに正である点P($3\cos\theta,3\sin\theta)\left(0\lt\theta\lt \dfrac{\pi}{2}\right)$をとる。Pからx軸に下した垂線とx軸の交点をQ、Pからy軸に下した垂線とy軸の交点をRとし、△APQと△BPRの面積の和をSとする。
(1)線分AB、BRの長さをそれぞれ$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(2)Sを$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)$t=\sin\theta+\cos\theta$とする。$\theta$が$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。
(4)(i)θが$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。
(ii)Sが最大となる$\theta$は2つあり、それらを$\theta_1,\theta_2\left(0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$とする。このとき、$\dfrac{\pi}{8}\lt \theta_1\lt\dfrac{\pi}{6}$であることを証明せよ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax+8a$ がある。ただし、aは実数の定数である。
(1)a=2とする。
(i)f(x)の増減を調べて、f(x)の極大値と極小値を求めよ。
(ii)xの方程式$f(x)=0$の解で、$1\lt x\lt2$を満たすものの個数を求めよ。
(2)f(x)が$1\lt x\lt 2$において極値をもたないようなaの値の範囲を求めよ。
(3)xの方程式$f(x)=0$が$1\lt x\lt 2$の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

大問6：ベクトル
Oを原点とする座標空間に、3点A(1,2,2)、B(3,-4,0)、C(a,b,5)があり、$OA⊥OC$かつ$OB⊥OC$が成り立っている。
(1)$\vert OA\vert$、$\vert OB\vert$、内積$OA・OB、\cos\angle AOB$の値をそれぞれ求めよ。
(2)a,bの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)Oを中心とする半径rの球面Sがある。Sが3点A,B,Cを通る平面と交わってできる円の半径が2であるとき、rの値を求めよ。

大問7：数列
数列{$a_n$}$(n=1,2,3,…)$を$a_1=7, a_{n+1}=a_n+4(n=1,2,3,…)$によって定める。
(1)$a_4$の値を求めよ。また、数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}$(n=1,2,3,…)$を$b_1=3, b_{n+1}-b_n=a_n(n=1,2,3,…)$によって定める。数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。
(4)数列{$c_n$}$(n=1,2,3,…)$を(3)の$b_n$を用いて、$c_1=\dfrac{1}{5}, c_{n+1}=b_n\times \dfrac{c_n}{(b_{n+1}-3)}(n=1,2,3,…)$によって定める。数列${c_n}$の一般項$c_n$を求めよ。また、$\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)$(x^2+x)(x^2+x-3)$を展開すると、$\Box$となる.
(2)$2x^2-5xy-3y^2$を因数分解すると、$\Box$となる.
(3)$\alpha=3+\sqrt6、\beta=3-\sqrt6$について、$\alpha\beta$の値は$\Box$であり、$\Box$である.
(4)$\theta$は鋭角とする.$\tan\theta=\sqrt3$のとき、$\cos\theta=\Box$である.
(5)不等式$-x\lt 3x-4\lt x$の解は$\Box$である.
(6)次のデータがある。$6,3,5,2,2,7,1,4,8$ このデータの第3四分位数は$\Box$であり、四分位範囲は$\Box$である.

第2問[1]：図形と計量
三角形$ABC$があり、$AB=4,AC=5,\cos\angle BAC=\dfrac{1}{8}$である。
(1)$\sin\angle BAC$の値を求めよ。また、辺$BC$の長さを求めよ。
(2)辺$AC$(両端を除く)上に点$D$をとり、三角形$BCD$の外接円の半径を$R$とする。
(i)$\angle BDC=\theta$とおくとき、$\sin\theta$を$R$を用いて表せ.
(ii)$R=4$のとき、線分$BD$の長さと線分$AD$の長さを求めよ.

[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に$1,2,3,4$である場合は$N=1234$となる。　
(1)$N$は全部で何個できるか.
(2)$2126,3335$のように、同じ数を含む$N$は何個できるか．
(3)$4321$より大きい$N$は何個できるか.

第3問：2次関数
$x$の2次関数$f(x)=x^2-2x+2$があり、放物線$y=f(x)$を$C_1$とする。
(1)(i)$C_1$の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
(2)$p$を正の整数とする。$C_1$を$x$軸の方向に$p$、$y$軸方向に$-p$だけ平行移動した放物線を$C_2$とし、$C_2$の方程式を$y=g(x)$とする。
(i)$C_2$の頂点の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$g(x)$の最小値を$m$とする。$m$を$p$を用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つような$p$の値の範囲を求めよ。
　 (A)$0\leqq x\leqq 4$を満たすすべての実数$x$に$g(x)\gt 0$
(B)$0\leqq x\leqq 4$を満たすある実数xに対して$g(x)\gt 8$

第4問：複素数と方程式
$a,b$を実数の定数とし、$c$を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
$x^2-6x+10=0$ …①
$x^2-ax+b=0$ …②
があり、②の2つの解は$1+ci、1-ci$である。ただし、$i$は虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)$a$の値を求めよ。また、$b$を$c$を用いて表せ。
(3)$d$を実数の定数とする。多項式$P(x)$があり、$P(x)$を2次式$x^2-ax+b=0$で割ると、商は $x^2-6x+10=0$、余りは$cx+d$である。
　(i)$P(1+ci)$を$p+qi$ ($p,q$は実数であり、いずれも$c,d$で表された式)の形で表せ。
　(ii)①の２つの解を$\alpha,\beta$と表し、複素数の集合$A,B$を
　$A={\alpha,\beta,1+ci,1-ci}、B={P(\alpha)，P(\beta)，P(1+ci)，P(1-ci)}$
　と定める。$A=B$となるような$b,c,d$の組($b.c,d$)をすべて求めよ。ただし、$A=B$とは、$A$の要素と$B$の要素がすべて一致することである。

第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式$2x^2-3x+1＜0$を解け。
(2)$(3x+y)^4$を展開したときの$x^2y^2$の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線$l_1:3x-y+5=0,l_2:mx+2y+4=0$が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式$4^x=2\sqrt{2}$を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条件でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$P(x)=x^3+(2a-1)x^2-(a^2+2a-2)x+b$があり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、$\displaystyle\frac{y-a}{x-2}$の最大値をM(a)とする。M($\frac{1}{2}$)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=$\frac{π}{2}$,∠AOB=θ(0＜θ＜$\frac{π}{4}$)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) $BP^2$をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=x^3+kx^2-kx+k^2$がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列{$a_n$}を$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}},a_2=\sqrt{2},a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}=n+1(n=1,2,3,...)$により定める。また、数列{$b_n$}を$b_n=a_{n+1}a_{n}(n=1,2,3,･･･)$により定める。
(1)$b_1$を求めよ。また、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(2)数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
(3)$c_n=\displaystyle\frac{\sqrt{2}a_n}{n}(n=1,2,3,…)$とおく。$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ。また、数列{$c_n$}の一般項を求めよ。
(4)$a_n＞50$を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^N\frac{2k+1}{{a_{n+1}}^2{a_n}²}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
aを正の整数とする。$\theta$の方程式$ \sin(a\theta)+\sqrt3\cos(a\theta)=1$ ・・・(＊) がある。
(1)$\sin(\theta+\dfrac{\pi}{3}$)を$\sin\theta, \cos\theta$の式で表せ。
(2)$a=1$のとき、(＊)を$0\leqq\theta\lt 2\pi$において表せ。
(3)(＊)の$\theta\geqq 0$を満たすθのうち、小さい方から4つをaを用いて表せ。
(4)Nを正の整数とする。$0\leqq\lt 2\pi$において、(＊)の解がちょうど2N個存在するようなaの値の範囲をNを用いて表せ。