問題文全文(内容文)：
共通テストⅡBでおさえておくべき公式は？？ランキングでまとめました

問題文全文(内容文)：
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
$x=a_n$を自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、$y=b_n$をそのときの歩
行者の位置とする。

(1) 花子さんと太郎さんは、数列$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$の一般項を求めるために、歩行者
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標
平面上の点(x,y)で表すことにした。
$a_1=2,b_1=2$により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき
の時刻と位置を表す点の座標は$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})$である。よって
$a_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}, b_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
である。

花子:数列$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$の一般項について考える前に、
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})$の求め方について整理してみようか。
太郎:花子さんはどうやって求めたの？
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと
を利用したよ。
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を
計算して求めることもできるね。
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標
は$(a_n,0)$であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は
$(a_n,b_n)$である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、$a_n,b_n$を用いて、
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})$と表せる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$a_n$　①$b_n$　②$2a_n$
③$a_n+b_n$　④$2b_n$　⑤$3a_n$
⑥$2a_n+b_n$　⑦$a_n+2b_n$　⑧$3b_n$

以上から、数列$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$について、自然数nに対して、関係式
$a_{n+1}=a_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}{b}_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}} \dots \mathrm{①}$
$b_{n+1}=3b_n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}} \dots \mathrm{②}$
が成り立つことが分かる。まず、$b_1=2$と②から
$b_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}} (n=1,2,3,\dots )$
を得る。この結果と、$a_1=2$および１から
$a_n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}} (n=1,2,3,\dots )$
がわかる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$3^{n-1}+1$　①$\frac{1}{2}\mathrm{・}{3}^n+\frac{1}{2}$
②$3^{n-1}+n$　③$\frac{1}{2}\mathrm{・}{3}^n+n-\frac{1}{2}$
④$3^{n-1}+n^2$　⑤$\frac{1}{2}\mathrm{・}{3}^n+n^2-\frac{1}{2}$
⑥$2\mathrm{・}{3}^{n-1}$　⑦$\frac{5}{2}\mathrm{・}{3}^{n-1}-\frac{1}{2}$
⑧$2\mathrm{・}{3}^{n-1}+n-1$　⑨$\frac{5}{2}\mathrm{・}{3}^{n-1}+n-\frac{3}{2}$
ⓐ$2\mathrm{・}{3}^{n-1}+n^2-1$　ⓑ$\frac{5}{2}\mathrm{・}{3}^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}$

(2)歩行者が$y=300$の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく
回数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$回である。また、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$回目に自転車が歩行者に追いつく
時刻は、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}\mathrm{セ}}}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
正の整数$m$に対して
$a^2+b^2+c^2+d^2=m,$$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 0$　$\cdots$①
を満たす整数$a,b,c,d$の組がいくつあるかを考える。

(1)$m=14$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$
は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})$
のただ一つである。
また、$m=28$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組の個数は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個である。

(2)$a$が奇数のとき、整数$n$を用いて$a=2n+1$と表すことができる。
このとき、$n(n+1)$は偶数であるから、次の条件が全ての奇数$a$で成り立つ
ような正の整数$h$のうち、最大のものは$h=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$である。

条件:$a^2-1$は$h$の倍数である。

よって、$a$が奇数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは$1$である。
また、$a$が偶数の時、$a^2$を$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$で割った時の余りは、$0$または$4$の
いずれかである。

(3)(2)により、$a^2+b^2+c^2+d^2$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数ならば、整数$a,b,c,d$
のうち、偶数であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$個である。

(4)(3)を用いることにより、$m$が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の倍数であるとき、①を満たす整数
$a,b,c,d$が求めやすくなる。
例えば、$m=224$のとき、①を満たす整数$a,b,c,d$の組$(a,b,c,d)$は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}})$
のただ1つであることが分かる。

(5)7の倍数で896の約数である正の整数$m$のうち、①を満たす整数$a,b,c,d$
の組の個数が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$個であるものの個数は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個であり、
そのうち最大のものは$m=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじ
を引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能
性が対価を、条件付き確率を用いて考えよう。

(1)当たりくじを引く確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱Aと、当たりくじを引く確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$
である箱$B$の二つの箱の場合を考える。

$(\text{i})$各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}}$　$\cdots$①
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$　$\cdots$②
である。

$(\text{ii})$まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱
において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3
回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが
選ばれる事象をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
$P(A\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}},}}$$P(B\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}\times {\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}}$
である。$P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)$であるから。3回中ちょうど1
回当たった時、選んだ箱がAである条件付き確率$P_W(A)$は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}}}$と
なる。また、条件付き確率は$P_W(B)$は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}}$となる。
(2)(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$と$P_W(B)$の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$は、①の確率と②の確率の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$
に等しい。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群
⓪和　①2乗の和　②3乗の和　③比　④積

(3)花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:$P_W(A)$と$P_W(B)$を求めるのに必要な$P(A\cap W)$と$P(B\cap W)$
の計算で、①,②の確率に同じ数${\displaystyle \frac{1}{2}}$をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数${\displaystyle \frac{1}{3}}$をかける
ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

当たりくじを引く確率が、${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$A$、${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$B$、${\displaystyle \frac{1}{4}}$である箱
$C$の三つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C$のうちどれか一つの箱
をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いては
もとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。
このとき、選んだ箱がAである条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}}}$となる。

(4)花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$は各箱で
3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$になっている
みたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくて
も、その大きさを比較することができるね。

当たりくじを引く確率が、${\displaystyle \frac{1}{2}}$である箱$A$、${\displaystyle \frac{1}{3}}$である箱$B$、${\displaystyle \frac{1}{4}}$である箱
$C$、${\displaystyle \frac{1}{5}}$である箱$D$の四つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C,D$のうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを
1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど
1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを
引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$の解答群
⓪$A,B,C,D$
①$A,B,D,C$
②$A,C,B,D$
③$A,C,D,B$
④$A,D,B,C$
⑤$B,A,C,D$
⑥$B,A,D,C$
⑦$B,C,A,D$
⑧$B,C,D,A$

2021共通テスト過去問

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