問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)(a+3)³を展開せよ。
(2)(x-3)/(x²+x) + (x+9)/(x²+3x)を計算せよ。
(3)2次関数y=x²+2x (-2≦x≦2)における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。(7+3i)/(1+i)をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)0°≦θ＜180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、sinθ・cosθとcosθ-sinθを求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 ax²+2ax-2a+1≦0・・・①
│x-2│≦1・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)a=-1のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、AB=7、BC=8、CA=3とする。
(1)cos∠BACの値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、 sin∠BCP:sin∠CBP=1:3となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10について、2^zを7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 7x=2^z+3・・・① を満たしている。0≦z≦10のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 (4x+3y)(x-y)=2^z・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
θの関数 f(θ)=1/2sin2θ-√2kcos(θ-π/4)+k² がある。ただし、kは正の定数である。
(1)sin2θ,cos(θ-π/4)のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)f(θ)を(sinθ-p)(cosθ-q) (p,qは定数)の形で表せ。 (ii)k=√3/2のとき、方程式f(θ)=0を0≦θ＜2πにおいて解け。
(3)θの方程式f(θ)=0が0≦θ＜2πにおいて相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式f(θ)=0の0≦θ＜2πにおける最小の解をα、最大の解をβと する。α+β=5π/3となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)mを実数の定数とする。xの2次方程式 $x^2-mx+2=0$ …(*)がある。
(i)(*)が異なる2つの実数解をもつようなmの値の範囲を求めよ。
(ii)(*)が0より大きく3より小さい異なる2つの解をもつようなmの値の範囲を求 めよ。
(2)円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=1,BC=3,CD=DA,\cos\angle ABC=-\dfrac{1}{3}$ である。
(i)線分ACの長さを求めよ。
(ii)辺CDの長さを求めよ。
(iii)四角形ABCDの面積を求めよ。
(3)$(2x-y)^7$の展開式における$x^2y^5$の係数を求めよ。
(4)不等式$\log_3(3-2x)+\log_{\rac{1}{3}(x+1)\leqq 1$を解け。
(5)等式$f(x)=x^2+\diplaystyle \int_{0\to 1}xf(t)dt$ を満たす関数f(x)を求めよ。

大問2：微積分
aを$0＜a＜1$を満たす実数とし、xy平面上に 直線$l:y=-x+2a$, 放物線$C:y=x^2-2ax$ がある。
(1)lとCの交点の座標をすべて求めよ。
(2)lのy≧0の部分とCで囲まれる図形の面積をS₁、lとy≦0の部分とC、および直線 x=2で囲まれる図形の面積をS₂とする。
(i)S₁をaを用いて表せ。
(ii)aが$0＜a＜1$の範囲を動くとき、$S_1+S_2$を最小にするaの値を求めよ。

大問3：確率
赤、白、青のカードがそれぞれ1枚ずつ箱の中に入っている。この箱の中から無 作為に1枚のカードを取り出し、カードの色を紙に記録し、取り出したカードを 箱の中に戻す。これを1回の操作とし、この操作を繰り返す。ただし、同じ色が2 回連続して紙に記録されたときは、それまでの操作によって紙に記録されたもの をすべて消し、次の操作から再び記録し直すこととする。赤、白、青の3色すべ てが紙に記録されたら操作を終了する。また、終了するまでの操作回数をXとする。
例えば、取り出したカードの色が順に赤、白、赤、白、青のとき、最終的に紙に は【赤、白、赤、白、青】と色が記録され、X=5である。 取り出したカードが順に青、赤、赤、赤、白、青のとき、最終的に紙には【赤、 白、青】と色が記録され、X=6である。
(1)X=3,X=4となる確率をそれぞれ求めよ。
(2)X=5となる確率を求めよ。
(3)X=7となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
整数x,yの方程式 $7x-3y=1$ …(*)がある。
(1)(*)の解の組(x,y)を1組求めよ。
(2)(*)の解の組(x,y)をすべて求めよ。
(3)(*)の解の組(x,y)のうち、xyが10の倍数、かつ$1\leqq x\leqq 2020$を満たすものは何組 あるか。

大問5：図形と方程式
xy平面上に 円$Ca:x^2+y^2-4ax-2(a+3)y+5a^2+6a+4=0$がある。ただし、aは実数とする。
(1)Caの中心の座標と半径を求めよ。
(2)aがすべての字数値をとって変化するとき、Caの中心の軌跡を求めよ。
(3)aがa≧1の範囲を動くときのCaの通過する領域をDとし、定点(s,0)とD上の点 (x,y)の距離をLとする。点(x,y)がD上を動くとき、Lの最小値をsを用いて表せ。

大問6：ベクトル
Oを原点とするxyz空間に、2点A(2,0,0)、B(-1,1,1)と 球面$S:x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+11=0$ があり、Sの中心をCとする。
(1)Cの座標を求めよ。また、Sの半径を求めよ。
(2)s,tを実数とし、$OH=sOA+tOB$とおく。CHが平面OABと垂直になるようなs,tの値 を求めよ。 (3)S上に点Pをとり、四面体OABPを作る。PがS上を動くとき、四面体OABPの体積 の最大値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2019年度8月 第2回 K塾高2模試 総集編

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)$(a+3)^3$を展開せよ。
(2)$\dfrac{x-3}{x^2+x} +\dfrac{x+9}{x^2+3x}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=x^2+2x (-2\leqq x\leqq 2)$における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\dfrac{7+3i}{1+i}$をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)$0°\leqq\theta\lt180°、\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$のとき、$\sin\theta・\cos\theta$と$\cos\theta-\sin\theta$を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 $ax^2+2ax-2a+1\leqq 0$・・・①
$\vert x-2\vert \leqq 1$・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)$a=-1$のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、$AB=7、BC=8、CA=3$とする。
(1)$\cos\angle BAC$の値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、$ \sin\angle BCP:\sin\angle CBP=1:3$となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)$z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$について、$2^z$を7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 $7x=2^z+3$・・・① を満たしている。$0\leqq z\leqq 10$のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 $(4x+3y)(x-y)=2^z$・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 $P(x)=x^3+3x^2+3x+a$ があり、$P(-2)=0$を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式$P(x)=0$を解け。
(3)方程式$P(x)=0$の虚数解のうち、虚部が正であるものを$\alpha$、虚部が負であるもの を$\beta$と表す。また、方程式$P(x)=0$の実数解を$γ$と表す。さらに、$A=\alpha+1、B=\beta+1、 C=γ+1$とする。
(i)$A^2+B^2、A^3、B^3$の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。$A^n+B^n+C^n=0$を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
$\theta$の関数 $f(\theta)=\dfrac{1}{2\sin2\theta}-\sqrt2k\cos(\theta-\dfrac{\pi}{4})+k^2$ がある。ただし、kは正の定数である。
(1)$\sin2\theta,\cos(\theta-\dfrac{\pi}{4})$のそれぞれを$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(2)(i)f($\theta$)を$(\sin\theta-p)(\cos\theta-q) $(p,qは定数)の形で表せ。$ (ii)k=\dfrac{\sqrt3}{2}$のとき、方程式$f(\theta)=0$を$0\leqq\theta\lt 2\pi$において解け。
(3)θの方程式$f(\theta)=0$が$0\leqq\theta\lt 2\pi$において相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式$f(\theta)=0$の$0\leqq\theta\lt 2\pi$における最小の解を$\alpha$、最大の解を$\beta$と する。$\alpha+\beta=\dfrac{5\pi}{3}$となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、$OA=2,OB=1,\angle AOB=120°$である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。また$OB=a,OB=b$とする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)$OH=kOD$(kは実数)と表される点Hがある。$CT⊥OD$となるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを$\angle AOD=\angle POD$となるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
aは実数の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$とする。次の2つの式を考える。
$8a\cos\theta- 8\cos2\theta=a^2+7$…①
$\sin\theta-\cos\theta\gt-1$…②
(1)a=1のとき、方程式①を解け。
(2)不等式②を 解け。
(3)(2)で求めた範囲に①の異なる解がちょうど3個存在するようなaの値の 範囲を求めよ。