問題文全文(内容文)：
第3問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N(m, $\sigma^2$)に従うとする。
(i)この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがm g以上である確率P(X≧m)は
P(X≧m)=P$\left(\frac{X-m}{\sigma}\geqq \boxed{\ \ ア\ \ }\right)$=$\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
である。
(ii)母集団から無作為に抽出された大きさnの標本$X_1$, $X_2$, ..., $X_n$の標本平均を$\bar{X}$とする。$\bar{X}$の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ
E($\bar{X}$)=$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }}$,　σ($\bar{X}$)=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
となる。
n=400,　標本平均が30.0g,　標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90%の信頼区間を次の方針で求めよう。
方針：Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数として、P($-z_0 \leqq Z \leqq z_0$)=0.901 となる$z_0$を正規分布表から求める。この$z_0$を用いるとmの信頼度90.1%の信頼区間が求められるが、これを信頼度90%の信頼区間とみなして考える。
方針において、$z_0$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$.$\boxed{\ \ キク\ \ }$である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。n=400は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90%の信頼区間は$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ エ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪σ　①$\sigma^2$　②$\frac{\sigma}{\sqrt n}$　③$\frac{\sigma^2}{n}$
④m　⑤2m　⑥$m^2$　⑦$\sqrt m$　
⑧$\frac{\sigma}{n}$　⑨$n\sigma　$ⓐ$nm$　ⓑ$\frac{m}{n}$
$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪28.6≦m≦31.4　①28.7≦m≦31.3　②28.9≦m≦31.1　
③29.6≦m≦30.4　④29.7≦m≦30.3　⑤29.9≦m≦30.1
(2)(1)の確率変数Xにおいて、m=30.0, σ=3.6とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分数を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。
ピーマン分類法：無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
(i)ピーマンを無作為に50個抽出した時、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率$p_0$を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は$\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_0$とすると、$U_0$は二項分布$B\left(50, \frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$に従うので
$p_0$=${}_{50}C_{\boxed{シス}}×\left(\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)^{\boxed{シス}}×\left(1-\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)^{50-\boxed{シス}}$
となる。
$p_0$を計算すると、$p_0$=0.1122...となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。
(ii)ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。
kを自然数とし、ピーマンを無作為に(50+k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_k$とすると、$U_k$は二項分布$B\left(50+k, \frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\right)$に従う。
(50+k)は十分に大きいので、$U_k$は近似的に正規分布$N\left(\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}, \boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\right)$に従い、$Y=\frac{U_k-\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}}}$とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を$p_k$とすると
$p_k$=$P(25 \leqq U_k \leqq 25+k)$=$P\left(-\frac{\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\sqrt{50+k}} \leqq Y \leqq \frac{\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\sqrt{50+k}}\right)$
となる。
$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$=a, $\sqrt{50+k}$=$\beta$とおく。
$p_k$≧0.95になるような$\frac{\alpha}{\beta}$について、正規分布表から$\frac{\alpha}{\beta}$≧1.96を満たせばよいことが分かる。ここでは
$\frac{\alpha}{\beta}$≧2　...①
を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、$\alpha^2$≧4$\beta^2$を満たす最小のkを$k_0$とすると、$k_0$=$\boxed{\ \ チツ\ \ }$であることがわかる。ただし、$\boxed{\ \ チツ\ \ }$の計算においては、$\sqrt{51}=7.14$を用いてもよい。
したがって、少なくとも(50+$\boxed{\ \ チツ\ \ }$)個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。
$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$～$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪k　①2k　②3k　③$\frac{50+k}{2}$
④$\frac{25+k}{2}$　⑤25+k　⑥$\frac{\sqrt{50+k}}{2}$　⑦$\frac{50+k}{4}$

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
第一問
[ 1 ] 三角関数の値の大小関係について考えよう。
(1) $x=\displaystyle\frac{\pi}{6}$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}\sin 2x$であり、$x=\frac{2}{3}\pi$のとき$\sin x\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}\sin 2x$である。
$\boxed{\boxed{\ \ ア\ \ }}$, $\boxed{\boxed{\ \ イ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪＜　①=　②＞
(2) $\sin x$と$\sin 2x$の値の大小関係を詳しく調べよう。
$\sin 2x$-$\sin x$=$\sin 2x\left(\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$
であるから、$\sin 2x$-$\sin x$＞0が成り立つことは
「$\sin x$＞0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \gt 0$」... ①
「$\sin x$＜0かつ $\boxed{\ \ ウ\ \ }\cos x-\boxed{\ \ エ\ \ } \lt 0$」... ②
が成り立つことと同値である。$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
$\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。よって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x \gt \sin x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \lt x \lt \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }},　\pi \lt x \lt \displaystyle\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi$
である。
(3)$\sin 3x$と$\sin 4x$の値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
$\sin(\alpha+\beta)$-$\sin(\alpha-\beta)$=$2\cos\alpha\sin\beta$...③
が得られる。$\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$を満たす$\alpha$, $\beta$に対して③を用いることにより、$\sin 4x-\sin 3x \gt 0$が成り立つことは
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \gt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \gt 0$」...④
または
「$\cos\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }} \lt 0$ かつ $\sin\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt 0$」...⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、④,⑤により、$\sin 4x$＞$\sin 3x$が成り立つようなxの値の範囲は
$0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$, $\displaystyle\frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi$
である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$,　$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪0　①x　②2x　③3x
④4x　⑤5x　⑥6x　⑦$\frac{x}{2}$　
⑧$\frac{3}{2}x$　⑨$\frac{5}{2}x$　ⓐ$\frac{7}{2}x$　ⓑ$\frac{9}{2}x$
(4)(2), (3)の考察から、$0 \leqq x \leqq \pi$のとき、$\sin 3x \gt \sin 4x \gt \sin 2x$が成り立つようなxの値の範囲は
$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ コ\ \ }}$ $\lt$ $\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$,　$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi \lt x \lt \frac{\boxed{\ \ タ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}\pi$
であることがわかる。
[ 2 ]
(1)$a \gt 0$,　$a \ne 1$,　$b \gt 0$のとき、$\log_ab=x$とおくと、$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$が成り立つ。
$\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$の解答群
⓪$x^a=b$　①$x^b=a$　②$a^x=b$
③$b^x=a$　④$a^b=x$　⑤$b^a=x$
(2)様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i)$\log_5 25=\boxed{\ \ テ\ \ }$,　$\log_9 27=\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$であり、どちらも有理数である。
(ii)$\log_2 3$が有理数と無理数のどちらかであるかを考えよう。
$\log_2 3$が有理数であると仮定すると、$\log_2 3$＞0であるので、二つの自然数p, qを用いて$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$と表すことができる。このとき、(1)により$\log_2 3=\displaystyle\frac{p}{q}$は$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数であるので、$\boxed{\boxed{\ \ ニ\ \ }}$を満たす自然数p, qは存在しない。
したがって、$\log_2 3$は無理数であることがわかる。
(iii)a, bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$ならば$\log_a b$は常に無理数である」ことがわかる。
$\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$の解答群
⓪aが偶数　①bが偶数　②aが奇数　
③bが奇数　④aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数　⑤aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
(1)168を素因数分解すると 168=(ア)^(イ)×3×(ウ) である。
よって、168の正の約数の個数は(エオ)個であり、AB=168かつ3≦A＜Bを満たすA,Bの組は、全部で(カ)個である。
(2)正の整数nは正の約数の個数が6個であり、正の約数の総和が168であるとする。このような正の整数nのうち、異なる２つの素因数を持つものを求めよう。
nは異なる素数p,qを用いて、n=p^(キ)・q と表せる。
このとき、nの正の約数の総和は［ク］であるから、p=(ケ) であり、n=(コサ) である。

［ク］の解答群
0: (p+p²)q
1: (1+p+p²)q
2: (p+p²)(1+q)
3: (1+p+p²)(1+q)
4: (p+p²+p³)q
5: (1+p+p²+p³)q
6: (p+p²+p³)(1+q)
7: (1+p+p²+p³)(1+q)

(3)正の整数mは正の約数の個数が12個であり、正の約数の総和が624であるとする。このような正の整数mのうち、異なる3つの素因数を持つものは m=(シスセ) である。

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]　$a,b$を定数とするとき、$x$についての不等式
$|ax-b-7| \lt 3$　$\cdots$①
を考える。
(1)$a=-3,b=-2$とする。①を満たす整数全体の集合を$P$とする。
この集合$P$を、要素を書き並べて表すと
$P=\left\{\boxed{\ \ アイ\ \ },　\boxed{\ \ ウエ\ \ }\right\}$
となる。ただし、$\boxed{\ \ アイ\ \ },　\boxed{\ \ ウエ\ \ }$の解答の順序は問わない。

(2)$a=\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}$とする。
$(\textrm{i})b=1$のとき、①を満たす整数は全部で$\boxed{\ \ オ\ \ }$個である。
$(\textrm{ii})$①を満たす整数が全部で$(\boxed{\ \ オ\ \ }+1)$個であるような正の整数$b$
のうち、最小のものは$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。

[2]平面上に2点$A,B$があり、$AB=8$である。直線$AB$上にない点$P$をとり、
$\triangle ABP$をつくり、その外接円の半径を$R$とする。
太郎さんは、図1(※動画参照)のように、コンピュータソフトを使って点$P$
をいろいろな位置に取った。
図1は、点$P$をいろいろな位置にとったときの$\triangle$の外接円をかいたものである。

(1)太郎さんは、点$P$のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき、
次の問題1を考えることにした。

問題1:点$P$をいろいろな位置にとるとき、外接円の半径$R$が最小となる
$\triangle ABP$はどのような三角形か。
正弦定理により、$2R=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\sin\angle APB}$である。よって、
Rが最小となるのは$\angle APB=\boxed{\ \ クケ\ \ }°$の三角形である。
このとき、$R=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。


(2)太郎さんは、図2(※動画参照)のように、問題1の点$P$のとり方に
条件を付けて、次の問題2を考えた。

問題2:直線$AB$に平行な直線を$l$とし、直線l上で点$P$をいろいろな
位置にとる。このとき、外接円の半径$R$が最小となる$\triangle ABP$は
どのような三角形か。

太郎さんは、この問題を解決するために、次の構想を立てた。

問題2の解決の構想
問題1の考察から、線分$AB$を直径とする円を$C$とし、円$C$に着目
する。直線lは、その位置によって、円$C$と共有点を持つ場合と
もたない場合があるので、それぞれの場合に分けて考える。

直線$AB$と直線lとの距離を$h$とする。直線lが円$C$と共有点を
持つ場合は、$h \leqq \boxed{\ \ サ\ \ }$のときであり、共有点をもたない場合は、
$h \gt \boxed{\ \ サ\ \ }$のときである。

$(\textrm{i})h \leqq \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき
直線$l$が円$C$と共有点をもつので、$R$が最小となる$\triangle ABP$は、
$h \lt \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$であり、$h=\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき直角二等辺三角形
である。

$(\textrm{ii})h \gt \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき
線分$AB$の垂直二等分線を$m$とし、直線$m$と直線$l$との交点を$P_1$とする。
直線$l$上にあり点$P_1$とは異なる点を$P_2$とするとき$\sin\angle AP_1B$
と$\sin\angle AP_2B$の大小を考える。
$\triangle ABP_2$の外接円と直線$m$との共有点のうち、直線$AB$に関して点$P_2$
と同じ側にある点を$P_3$とすると、$\angle AP_3B \boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}\angle AP_2B$である。
また、$\angle AP_3B \lt \angle AP_1B \lt 90°$より$\sin \angle AP_3B \boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}\angle AP_1B$である。
このとき$(\triangle ABP_1$の外接円の半径$) \boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }} (\triangle ABP_2$の外接円の半径)
であり、$R$が最小となる$\triangle ABP$は$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～④のうち
から一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪鈍角三角形　①直角三角形　②正三角形
③二等辺三角形　④直角二等辺三角形

$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\lt$　①$=$　②$\gt$

(3)問題2の考察を振り返って、$h=8$のとき、$\triangle ABP$の外接円の半径$R$
が最小である場合について考える。このとき、$\sin\angle APB=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$
であり、$R=\boxed{\ \ テ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
共通テスト(プレテスト)【数学ⅠA】解説動画です