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図において、AD=AB, AC=AEのとき、角アの大きさを求めなさい。

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第45回 立体の切断②

例1
次の図は、底面が直角三角形の三角柱を、1つの平面で 切ったときに残った立体です。 この立体の体積は何㎤ですか。

例2
次の図はたて5cm、横6cmの直方体を、1つの平面で 切ったときに残った立体です。

(1)DHの長さは何cmですか。

(2)この立体の体積は何㎤何ですか。

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1　次の□にあてはまる数を答えなさい。

(1) $1\dfrac{1}{5}\times(12-8.25)\div\dfrac{2}{3}+1\dfrac{5}{6}\times\dfrac{15}{22}=\square$

(2) $\dfrac{2}{3}\times\{(52-\square)\times15+213\times13\}=2026$

(3) $8\%$ の食塩水 $100\mathrm{g}$ に、$4\%$ の食塩水を $\square\mathrm{g}$ 加えてから水を $50\mathrm{g}$ 蒸発させると $6\%$ の食塩水になりました。

(4) 栄くん、東さん、中さんの3人が同時に $\square\mathrm{m}$ 競走をしました。栄くんがゴールしたとき、東さんと中さんはそれぞれゴールの手前 $24\mathrm{m}$、$28\mathrm{m}$ の地点にいました。その後、東さんがゴールしたとき、中さんはゴールの手前 $4.8\mathrm{m}$ の地点にいました。ただし、3人の走る速さは、それぞれ一定とします。

(5) 次の数の列は左から1番目が2、2番目が7であり、3番目以降の数はその前2つの数の積の一の位の数となるように並べたものです。

$2,\ 7,\ 4,\ 8,\ 2,\ 6,\ \ldots$

例えば左から4番目の数は2番目と3番目の数の積28の一の位の数であるから8、左から5番目の数は3番目と4番目の数の積32の一の位の数であるから2となります。このとき、左から2026番目の数は□です。

(6) ある2けたの数 $AB$ と $CD$ の合計は101で、$AB$ と $DC$ の合計は110です。$A,\ B,\ C,\ D$ は0から9までのそれぞれ異なる整数を表しており、$DC$ は $CD$ の十の位の数と一の位の数を逆にしたものです。$A
(7) 右の図は正九角形の内側に正五角形を1辺が重なるようにおいた図形です。このとき、アの角度は□度です。

(8) 右の図形を直線 $\ell$ を軸として1回転させてできる立体の表面積は $\square\mathrm{cm}^2$ です。ただし、円周率は3.14とします。


2　$2\times4\times6\times\cdots\times100$、つまり2から100までの偶数をすべてかけた数を $N$ とします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2から100までの偶数のうち、2で2回割り切ることができる数は□個、2で3回割り切ることができる数は□個、2で4回割り切ることができる数は□個、2で5回割り切ることができる数は3個、2で6回割り切ることができる数は1個です。ア、イ、ウに入る数をそれぞれ答えなさい。

(2) $N$ を3でくり返し割ると、全部で何回割り切ることができますか。

(3) $N$ を96でくり返し割ると、全部で何回割り切ることができますか。


3　正三角形 $ABC$ において、$AD:BE=3:1$、$AD$ と $DE$ は垂直、$F$ は $AB$ の真ん中の点、$G$ は $AE$ と $DF$ が交わる点です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) $AD:DC$ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2) 三角形 $ABC$ と三角形 $ADE$ の面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(3) 三角形 $ABC$ と三角形 $AGD$ の面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。


4　次のように、分数が下の規則にしたがって並んでいます。

【規則1】分子は2ずつ増える

【規則2】分母が1のときは1個、2のときは2個、3のときは3個、…のようにその数の個数だけ小さい順に並べる

【規則3】約分をしないで並べる

$\dfrac{2}{1},\ \dfrac{4}{2},\ \dfrac{6}{2},\ \dfrac{8}{3},\ \dfrac{10}{3},\ \dfrac{12}{3},\ \dfrac{14}{4},\ \ldots$

例えば、左から3番目の数は $\dfrac{6}{2}$、7番目の数は $\dfrac{14}{4}$ となります。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 分母が4である分数の和を答えなさい。ただし、約分して答えること。

(2) 分母が9である分数の和を答えなさい。ただし、約分して答えること。

(3) 分母が□である分数の和は2026です。□に入る数を答えなさい。


5　図1のような仕切りのついた水そうがあり、アの上部から一定の割合で水を注ぎます。また、イの底面には排水口があり、1分間に $150\mathrm{cm}^3$ の割合で水を排水します。はじめは排水口を閉めた状態から水を入れ、しばらくしてから排水口を開け、水そうが満水になったら水を注ぐのをやめ、またしばらくして排水口を閉めてから容器を太線の部分を固定して図2のように、ゆっくりと左に $45^\circ$ 傾けたところ、$100\mathrm{L}$ の水がこぼれました。図3のグラフは水を注いでからの時間とアの部分の高さを表したものです。ただし、水そうと仕切りの厚みは考えないものとします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 水は毎分何 $\mathrm{cm}^3$ の割合で注がれていますか。

(2) 排水口を開けたのは水を入れ始めてから何分後ですか。

(3) 排水口を閉めたのは水そうが満水になってから何分後ですか。

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①～⑤の表を完成させよ。

⑥表の$口$と$○$を使って、
体積を求める式を作ろう!

$□$が2倍、3倍、・・になると、$○$も⑦＿＿＿＿ になっているよね!こういう関係を
『$〇$は$□$にする⑧＿＿＿＿』っていうんだ!!

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第25回相当算③

例1
ある学校の入試で、合格者は受験者の気より1人少なく、不合格者は受験の 長より4人多かったそうです。受験者は何人ですか。

例2
ある学校の男子生徒は全校生徒の半分より150人多く、女子生徒は男子生徒の言 より50人多いそうです。この学校の全校生徒は何人ですか。

例3
あめが何個かありました。はじめにAさんが全体の半分より2個少ない数をとり、 次にBさんが残りの子より2個多い数を取ったらあめは13個残りました。
はじめあめは何個ありましたか。