福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(3)〜平方数を３で割った余りに関する論証

問題文全文(内容文)：

2

(3)次の2つの命題を証明せよ。

(i)

整数nが3の倍数でないならば、

n^{2}

を3で割った時の余りは1である。

(ii)

3つの整数

x, y, z

が等式

x^{2} + y^{2} = z^{2}

を満たすならば、
xとyの少なくとも一方は3の倍数である。

2022慶應義塾大学看護医療学科過去問

単元： #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#推理と論証#推理と論証#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(3)次の2つの命題を証明せよ。

(i)

整数nが3の倍数でないならば、

n^{2}

を3で割った時の余りは1である。

(ii)

3つの整数

x, y, z

が等式

x^{2} + y^{2} = z^{2}

を満たすならば、
xとyの少なくとも一方は3の倍数である。

2022慶應義塾大学看護医療学科過去問

投稿日：2022.07.21

＜関連動画＞

福田の数学〜京都大学2023年理系第６問〜チェビシェフの多項式と論証(PART1)

単元： #式の計算（単項式・多項式・式の四則計算）#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#その他#推理と論証#推理と論証#京都大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

pを3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(1)

\cos 3 θ

と

\cos 4 θ

を

\cos θ

の式として表せ。
(2)

\cos θ

\frac{1}{p}

のとき、θ=

\frac{m}{n}

・

π

となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

チェビシェフの多項式

\cos n θ

T_{n}

(

\cos θ

)を満たすn次の多項式

T_{n} (x)

が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が

2^{n - 1}

である。
これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

2023京都大学理系過去問

この動画を見る　

予習シリーズ算数６年上P188「練習問題」①

単元： #算数(中学受験)#推理と論証#推理と論証

教材： #予習シ#予習シ・算数・小6上#中学受験教材

指導講師：重吉

問題文全文(内容文)：
生徒5人Aさん、Bさん、Cさん、Dさん、Eさんの発言を基に、それぞれ学年と性別を求めよ
【発言内容】
・Bさんは5年生です
・Cさんは学年が違い、性別も違います
・5年生は3人います、そのうち女子は1人、男子は2人います
・6年生は2人います
・Aさんは女性です
・AさんとDさんは同学年です

この動画を見る　

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題010〜千葉大学2015年度理系数学第６問〜論証と剰余類

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#推理と論証#推理と論証#千葉大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
k,m,nを自然数とする。以下の問いに答えよ。
(1)

2^{k}

を7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った余りは
2であることを示せ。

(2)

4 m + 5 n

が3で割り切れるとする。このとき、

2^{m n}

を7で割った余りは
4ではないことを示せ。

2015千葉大学理系過去問

この動画を見る　

福田のおもしろ数学185〜8枚の硬貨から1枚の偽物を天秤を使って見抜こう

単元： #算数(中学受験)#推理と論証#推理と論証

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
8枚の区別のつかない硬貨のなかに、本物よりも軽い偽物が1枚混じっている。
おもりなしの天秤を使って偽物を見つけ出すためには、最小で南海天秤を使えばよいでしょうか。

この動画を見る　

福田の数学〜京都大学2023年理系第６問〜チェビシェフの多項式と論証(PART2)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

pを3以上の素数とする。また、θを実数とする。
(1)

\cos 3 θ

と

\cos 4 θ

を

\cos θ

の式として表せ。
(2)

\cos θ

\frac{1}{p}

のとき、θ=

\frac{m}{n}

・

π

となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

チェビシェフの多項式

\cos n θ

T_{n}

(

\cos θ

)を満たすn次の多項式

T_{n} (x)

が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が

2^{n - 1}

である。
これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

2023京都大学理系過去問

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(3)〜平方数を３で割った余りに関する論証

＜関連動画＞

福田の数学〜京都大学2023年理系第６問〜チェビシェフの多項式と論証(PART1)

予習シリーズ算数６年上P188「練習問題」①

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題010〜千葉大学2015年度理系数学第６問〜論証と剰余類

福田のおもしろ数学185〜8枚の硬貨から1枚の偽物を天秤を使って見抜こう

福田の数学〜京都大学2023年理系第６問〜チェビシェフの多項式と論証(PART2)

福田の数学〜慶應義塾大学2022年看護医療学部第２問(3)〜平方数を３で割った余りに関する論証