単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$[2]二つの関数$f(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}, g(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$について考える。
(1)$f(0)=\boxed{セ}, g(0)=\boxed{ソ}$である。また、$f(x)$は
相加平均と相乗平均の関係から、$x=\boxed{タ}$で最小値$\boxed{チ}$をとる。
$g(x)=-2$となるxの値は$\log_2(\sqrt{\boxed{ツ}}-\boxed{テ})$である。
(2)次の①～④は、xにどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{ト} \ldots① g(-x)=\boxed{ナ} \ldots②$
$\left\{f(-x)\right\}^2-\left\{g(-x)\right\}^2=\boxed{ニ} \ldots③$
$g(2x)=\boxed{ヌ}\ f(x)g(x) \ldots④$
$\boxed{ト}、\boxed{ナ}$の解答群
⓪$f(x)$ ①$-f(x)$ ②$g(x)$ ③$-g(x)$
(3)花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式$(\textrm{A})～(\textrm{D})$を考えてみたけど、常に
成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式$(\textrm{A})～(\textrm{D})$の$\beta$に
何か具体的な値を代入して調べてみたら?
太郎さんが考えた式
$f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{A})$
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{B})$
$f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{C})$
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta) \ldots(\textrm{D})$
(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式$(\textrm{A})～(\textrm{D})$のうち、
$\boxed{ネ}$以外の3つは成り立たないことが分かる。$\boxed{ネ}$は左辺と右辺を
それぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。
$\boxed{ネ}$の解答群
⓪$(\textrm{A})$ ①$(\textrm{B})$ ②$(\textrm{C})$ ③$(\textrm{D})$
2021共通テスト数学過去問
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