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2024共通テスト数学ⅠA第3問解説です

箱の中にカ ー ドが 2 枚以上入っており、それぞれのカ ードにはアルファベットが一文字だけ書かれている。この箱の中からカ ー ドを一枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行をり返し行う。
(1)箱の中にA,Bのカードが 1 枚ずつ全部で 2 枚入っている場合を考える。以下では、2 以上の自然数nに対しn回の試行で A. Bがそろっているとは、n回の試行でA,Bのそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i)２回の試行でA,Bがそろっている確率は$\dfrac{ア}{イ}$である。
(ii)３回の試行でA,Bがそろっている確率を求める。
　例えば、３回の試行のうちAを１回、Bを２回取り出す取り出し方は３通りあり、それらを全て挙げると次のようになる。※表は動画内参照
このように考えることにより、3 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はウ通りあることがわかる。よって、3 回の試行で A. B がそろっている確率は$\dfrac{ウ}{2^3}$である。
(iii) 4 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はエオ通りある。 よって、4 回の試行でA,B がそろっている確率は$\dfrac{カ}{キ}$である。
(2)箱の中にA,B,Cのカ ー ドが一枚ずつ全で 3 枚入っている場合を考える。
以下では、3 以上の自然数nに対しn回目の試行で初めて A. B. C がそろうとn回の試行で A,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出されかつA,B.Cのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i)3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう取り出し方はク通りある。よって、3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ク}{3^3}$である。
(ii) 4 回目の試行で初めて A.B,C がそろう確率を求める。4 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方は.(1)の(ii)を振り返ることにより、3×ウ通りあることがわかる。よって、4 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ケ}{コ}$である。
(iii)5 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方はサシ通りある。よってを 5 回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率は$\dfrac{サシ}{3^3}$である。
太郎さんと花子さんは. 6 回目の試行で初めて A. B, C, D がそろう確率について考えている。
太郎:例えば. 5 回目までにA,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出され.かっ 6 回目に初めてDが取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子:それなら初めて A. B. C だけがそろうのが, 3 回目のとき. 4 回目のとき. 5 回目のときで分けて考えてみてはどうかな。
6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろう取り出し方がク通りであることに注意すると「 6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろい、かつ6 回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方はスセ通りあることがわかる。同じように考えると６回の試行のうち 4 回目の試行で初めて A, B, C だけがそろい、かっ 6 回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方はソタ通りあることもわかる。以上のように考えることにより, 6 回目の試行で初めて A. B. C, D がそろう確率は$\dfrac{チツ}{テトナ}$であることがわかる。

2024共通テスト過去問

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共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します

2024共通テスト過去問

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\begin{eqnarray}
第2問\ [1]　p,qを実数とする。\\
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。\\
x^2+px+q=0　\ldots①\\
x^2+qx+p=0　\ldots②\\
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。\\
\\
(1)p=4,q=-4のとき、n=\boxed{\ \ ア\ \ }である。\\
また、p=1,q=-2のとき、n=\boxed{\ \ イ\ \ }である。\\
(2)p=-6のとき、n=3になる場合を考える。\\
\\
花子:例えば、①と②を共に満たす実数xがあるときはn=3に\\
なりそうだね。\\
太郎:それを\alphaとしたら、\alpha^2-6\alpha+q=0と\alpha^2+q\alpha-6=0が\\
成り立つよ。\\
花子:なるほど。それならば、\alpha^2を消去すれば、\alphaの値が求められそうだね。\\
太郎:確かに\alphaの値が求まるけど、実際にn=3となっているか\\
どうかの確認が必要だね。\\
花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。\\
\\
n=3となるqの値は\\
q=\boxed{\ \ ウ\ \ },　\boxed{\ \ エ\ \ }\\
である。ただし、\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt \boxed{\ \ エ\ \ }とする。\\
\\
p=-6に固定したまま、qの値だけを変化させる。\\
y=x^2-6x+q　\ldots③\\
y=x^2+qx-6　\ldots④\\
\\
(1)この二つのグラフについて、q=1のときのグラフを点線で、\\
qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。\\
このとき、③のグラフの移動の様子を示すと\boxed{\ \ オ\ \ }となり、\\
④のグラフの移動の様子を示すと\boxed{\ \ カ\ \ }となる。\\
\\
\boxed{\ \ オ\ \ },　\boxed{\ \ カ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～⑦\\
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。\\
なお、x軸とy軸は省略しているが、x軸は右方向、\\
y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。\\
(※選択肢は動画参照)\\
\\
(4)\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt q \lt \boxed{\ \ エ\ \ }とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、\\
Uの部分集合A,Bを\\
\\
A=\left\{x\ |\ x^2-6x+q \lt 0 \right\}\\
B=\left\{x\ |\ x^2+qx-6 \lt 0 \right\}\\
\\
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合を\bar{ X }と表す。このとき、\\
次のことが成り立つ。\\
\\
・x \in Aは、x \in Bであるための\boxed{\ \ キ\ \ }。\\
・x \in Bは、x \in \bar{ A }であるための\boxed{\ \ ク\ \ }。\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ },　\boxed{\ \ ク\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪必要条件であるが、十分条件ではない\\
①十分条件であるが、必要条件ではない\\
②必要十分条件である\\
③必要条件でも十分条件でもない
\end{eqnarray}

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