2024共通テスト数学 あけましておめでとう - 質問解決D.B.(データベース)

2024共通テスト数学 あけましておめでとう

問題文全文(内容文):
自然数lを3進数と4進数で表したら下3桁が共に012になった
最小のlを求めよ
単元: #大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 鈴木貫太郎
問題文全文(内容文):
自然数lを3進数と4進数で表したら下3桁が共に012になった
最小のlを求めよ
投稿日:2024.01.14

<関連動画>

福田の共通テスト解答速報〜2022年共通テスト数学IA問題5。平面幾何の問題。

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#方べきの定理と2つの円の関係#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
第5問 \triangle ABCの重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。\\
直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。\\
直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。\\
(1)点Dは線分AGの中点であるとする。このとき、\triangle ABCの形状に関係なく\frac{AD}{DE}=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\\
である。また、点Fの位置に関係なく\frac{BP}{AP}=\boxed{\ \ ウ\ \ }×\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }},\\
\frac{CQ}{AQ}=\boxed{\ \ カ\ \ }×\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}であるので、常に\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=\boxed{\ \ ケ\ \ }\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }~\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
⓪BC ①BF ②CF ③EF ④FP ⑤FQ ⑥PQ\\
\\
(2)AB=9, BC=8, AC=6とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。\\
ここで、4点B,C,Q,Pが同一円周上にあるように点Fをとる。このとき、\\
\\
AQ=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\ APであるから\\
\\
AP=\frac{\boxed{\ \ シス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}, AQ=\frac{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}であり、CF=\frac{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}{\boxed{\ \ トナ\ \ }}である。\\
\\
(3)\triangle ABCの形状や点Fの位置に関係なく、常に\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=10となるのは\\
\frac{AD}{DG}=\frac{\boxed{\ \ ニ\ \ }}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}のときである。

\end{eqnarray}
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福田の共通テスト解答速報〜2022年共通テスト数学IA問題4。整数解の問題。

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単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
第4問 (1)5^4=625を2^4で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式\\
\\
5^4x-2^4y=1 \ldots①\\
\\
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのはx=\boxed{\ \ ア\ \ },y=\boxed{\ \ イウ\ \ }\\であることがわかる。\\
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは\\
x=\boxed{\ \ エオ\ \ }, y=\boxed{\ \ カキク\ \ } である。\\
\\
(2)次に、625^2を5^5で割った時の余りと、2^5で割った時の余りについて考えてみよう。\\
まず、\\
625^2=5^{\boxed{ケ}}\\
であり、またm=\boxed{\ \ イウ\ \ }とすると、625^2=2^{\boxed{ケ}}\ m^2+2^{\boxed{コ}}\ m+1 である。\\
これらにより、625^2を5^5で割った時の余りと、2^5で割った時の余りがわかる。\\
\\
(3)(2)の考察は、不定方程式\\
\\
5^5x-2^5y=1 \ldots②\\
\\
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。\\
5^5xは5^5の倍数であり、2^5で割った時の余りは1となる。よって(2)により、\\
5^5x-625^2は5^5でも2^5でも割り切れる。5^5と2^5は互いに素なので\\
5^5x-625^2は5^5・2^5の倍数である。このことから、②の整数解のうち、\\
xが3桁の正の整数で最小になるのは\\
x=\boxed{\ \ サシス\ \ }, y=\boxed{\ \ セソタチツ\ \ }\\
であることが分かる。\\
\\
(4)11^4を2^4で割った時の余りは1に等しい。不定方程式\\
11^5x-2^5y=1\\
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは\\
x=\boxed{\ \ テト\ \ }, y=\boxed{\ \ ナニヌネノ\ \ } である。
\end{eqnarray}
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共通テスト第2日程2021年数学詳しい解説〜共通テスト第2日程2021年2B第1問〜対数関数と三角関数

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#指数関数と対数関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large第1問}\\
[1] (1)\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また、\log_{10}5,\log_{10}15をそれぞれ\\
\log_{10}2と\log_{10}3を用いて表すと\\
\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }\\
(2)太郎さんと花子さんは、15^{20}について話している。\\
以下では、\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771とする。\\
\\
太郎:15^{20}は何桁の数だろう。\\
花子:15の20乗を求めるのは大変だね。\log_{10}15^{20}の整数部分に\\
着目してみようよ。\\
\\
\log_{10}15^{20}は\\
\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1\\
を満たす。よって、15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }桁の数である。\\
\\
太郎:15^{20}の最高位の数字も知りたいね。だけど、\log_{10}15^{20}の\\
整数部分にだけ着目してもわからないな。\\
花子:N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}を満たすような\\
正の整数Nに着目してみたらどうかな。\\
\\
\log_{10}15^{20}の小数部分は\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }であり\\
\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)\\
が成り立つので、15^{20}の最高位の数字はboxed{\ \ サ\ \ }である。\\
\\
\\
[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点P(\cos\theta,\sin\theta),\\
Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)がある。ただし、0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi\\
とする。このとき、sとtを次のように定める。\\
s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta, t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta\\
\\
(1)\triangle PQRが正三角形や二等辺三角形のときのsとtの値について考察しよう。\\
考察1:\triangle PQRが正三角形である場合を考える。\\
この場合、\alpha,\betaを\thetaで表すと\\
\alpha=\theta+\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi, \beta=\theta+\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi\\
であり、加法定理により\\
\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}, \sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
である。同様に、\cos\betaおよび\sin\betaを、\sin\thetaと\cos\thetaを用いて表すことができる。\\
これらのことから、s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ①\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta \\
②\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ③\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta \\
④-\frac{1}{2}\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ⑤-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta \\
②-\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta ③-\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta \\
\\
考察2:\triangle PQRがPQ=PRとなる二等辺三角形である場合を考える。\\
\\
例えば、点Pが直線y=x上にあり、点Q,Rが直線y=xに関して対称\\
であるときを考える。このとき、\theta=\frac{\pi}{4}である。また、\alphaは\\
\alpha \lt \frac{5}{4}\pi, \betaは\frac{5}{4}\pi \lt \betaを満たし、点Q,Rの座標について、\\
\sin\beta=\cos\alpha, \cos\beta=\sin\alphaが成り立つ。よって\\
s=t=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha\\
である。\\
ここで、三角関数の合成により\\
\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)\\
である。したがって\\
\\
\alpha=\frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi, \beta=\frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi\\
\\
のとき、s=t=0である。\\
\\
(2)次に、sとtの値を定めるときの\theta,\alpha,\betaの関係について考察しよう。\\
考察3:s=t=0の場合を考える。\\
\\
この場合、\sin^2\theta+\cos^2\theta=1により、\alphaと\betaについて考えると\\
\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
である。\\
同様に、\thetaと\alphaについて考えると\\
\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}\\
であるから、\theta,\alpha,\betaの範囲に注意すると\\
\beta-\alpha=\alpha-\theta=\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi\\
という関係が得られる。\\
\\
(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪~③のうち、\\
正しいものは\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}であることが分かる。\\
\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}の解答群\\
⓪\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0ならば\\
\triangle PQRは正三角形である。\\
①\triangle PQRが正三角形ならばs=t=0であり、s=t=0で\\
あっても\triangle PQRは正三角形でない場合がある。\\
②\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があるが\\
s=t=0ならば\triangle PQRは正三角形である。\\
③\triangle PQRが正三角形であってもs=t=0でない場合があり、\\
s=t=0であっても\triangle PQRが正三角形でない場合がある。
\end{eqnarray}
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【日本最速解答速報】共通テスト2023数学1A 第3問

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単元: #大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師: 理数個別チャンネル
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福田の共通テスト解答速報〜2022年共通テスト数学IA問題2[2]。データの分析の問題。

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単元: #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
[2] 日本国外における日本語教育の状況を調べるために、独立行政法人国際交流基金では\\
「海外日本教育機関調査」を実施しており、各国における教育機関数,教員数,学習数\\
が調べられている。2018年度において学習者数が5000人以上の国と地域(以下、国)\\
は29ヵ国であった。これら29ヵ国について、2009年度と2018年度のデータが得られている。\\
\\
\\
(1) 各国において、学習者数を教員数で割ることにより、国ごとの\\
「教員1人当たりの学習者数」を算出することができる。図1と図2(※動画参照)は、\\
2009年度および2018年度における「教員1人当たりの学習者数」のヒストグラム\\
である。これら二つのヒストグラムから、9年間の変化に関して、後のことが読み取れる。\\
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。\\
\\
\\
・2009年度と2018年度の中央値が含まれる階級の階級値を比較すると、\boxed{\ \ ケ\ \ }\\
・2009年度と2018年度の第1四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、\boxed{\ \ コ\ \ }\\
・2009年度と2018年度の第3四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、\boxed{\ \ サ\ \ }\\
・2009年度と2018年度の範囲を比較すると、\boxed{\ \ シ\ \ }。\\
・2009年度と2018年度の四分位範囲を比較すると、\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }~\boxed{\ \ ス\ \ }を次の⓪~③のうちから一つ選べ。\\
⓪ 2018年度の方が小さい\\
① 2018年度の方が大きい\\
② 両者は等しい\\
③ これら二つのヒストグラムからだけでは両者の大小を判断できない\\
\\
\\
(2)各国において、学習者数を教育機関数で割ることにより、「教育機関1機関あたりの\\
学習者数」も算出した。図3(※動画参照)は、2009年度における\\
「教育機関1機関あたりの学習者数」の箱ひげ図である。\\
\\
2009年度について、「教育機関1機関あたりの学習者数」(横軸)と\\
「教員1人当たりの学習者数」(縦軸)の散布図は\boxed{\ \ セ\ \ }である。ここで、\\
2009年度における「教員1人当たりの学習者数」のヒストグラムである(1)の図1\\
を、図4(※動画参照)として再掲しておく。\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪~③のうちから一つ選べ。\\
なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。\\
(※選択肢は動画参照)\\
\\
(3) 各国における2018年度の学習者数を100としたときの2009年度の学習者数S,\\
および、各国における2018年度の教員数を100としたときの2009年度の\\
教員数Tを算出した。\\
例えば、学習者数について説明すると、ある国において、2009年度が44272人,\\
2018年度が174521人であった場合、2009年度の学習者数Sは\\
\frac{44272}{174521}×100 より25.4と算出される。\\
表1(※動画参照)はSとTについて、平均値、標準偏差および共分散を計算したものである。\\
ただし、SとTの共分散は、Sの偏差とTの偏差の積の平均値である。\\
表1の数値が四捨五入していない正確な値であるとして、SとTの相関係数\\
を求めると\boxed{\ \ ソ\ \ }, \boxed{\ \ タチ\ \ } である。\\
\\
(4) 表1と(3)で求めた相関係数を参考にすると、(3)で算出した2009年度の\\
S(横軸)とT(縦軸)の散布図は\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ ツ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪~③のうちから一つ\\
選べ。なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。\\
(※選択肢は動画参照)
\end{eqnarray}
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