問題文全文(内容文)：
和訳問題：Interesting as this sounds, the story has a flaw.

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)(a+3)³を展開せよ。
(2)(x-3)/(x²+x) + (x+9)/(x²+3x)を計算せよ。
(3)2次関数y=x²+2x (-2≦x≦2)における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。(7+3i)/(1+i)をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)0°≦θ＜180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、sinθ・cosθとcosθ-sinθを求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 ax²+2ax-2a+1≦0・・・①
│x-2│≦1・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)a=-1のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、AB=7、BC=8、CA=3とする。
(1)cos∠BACの値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、 sin∠BCP:sin∠CBP=1:3となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10について、2^zを7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 7x=2^z+3・・・① を満たしている。0≦z≦10のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 (4x+3y)(x-y)=2^z・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
θの関数 f(θ)=1/2sin2θ-√2kcos(θ-π/4)+k² がある。ただし、kは正の定数である。
(1)sin2θ,cos(θ-π/4)のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)f(θ)を(sinθ-p)(cosθ-q) (p,qは定数)の形で表せ。 (ii)k=√3/2のとき、方程式f(θ)=0を0≦θ＜2πにおいて解け。
(3)θの方程式f(θ)=0が0≦θ＜2πにおいて相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式f(θ)=0の0≦θ＜2πにおける最小の解をα、最大の解をβと する。α+β=5π/3となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
(1)168を素因数分解すると 168=(ア)^(イ)×3×(ウ) である。
よって、168の正の約数の個数は(エオ)個であり、AB=168かつ3≦A＜Bを満たすA,Bの組は、全部で(カ)個である。
(2)正の整数nは正の約数の個数が6個であり、正の約数の総和が168であるとする。このような正の整数nのうち、異なる２つの素因数を持つものを求めよう。
nは異なる素数p,qを用いて、n=p^(キ)・q と表せる。
このとき、nの正の約数の総和は［ク］であるから、p=(ケ) であり、n=(コサ) である。

［ク］の解答群
0: (p+p²)q
1: (1+p+p²)q
2: (p+p²)(1+q)
3: (1+p+p²)(1+q)
4: (p+p²+p³)q
5: (1+p+p²+p³)q
6: (p+p²+p³)(1+q)
7: (1+p+p²+p³)(1+q)

(3)正の整数mは正の約数の個数が12個であり、正の約数の総和が624であるとする。このような正の整数mのうち、異なる3つの素因数を持つものは m=(シスセ) である。

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
(1)$(x+y+2)^2$を展開せよ。
(2)$\dfrac{x^2-2x}{x^2+4x+3}\times\dfrac{2x+2}{x-2}$を計算せよ。
(3)2次関数$y=2x^2-8x+9 (0\leqq x\leqq 1)$における最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。$\dfrac{2+i}{1-3i}$を$a+bi$(a,bは実数)の形で表せ。
(5)$AB=3, BC=4\sqrt2, CA=5$である三角形ABCにおいて、$\cos\angle ABC$を求めよ。また、三 角形ABCの面積を求めよ。
(6)男子6人、女子4人の合計10人から3人を選ぶとき、選び方は全部で何通りか。 また、そのうち、女子が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りか。