【数学】2023年度第2回 K塾高2模試全問解説

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
(1)

(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)

を展開せよ。
(2)

\frac{x - 1}{1 + \frac{1}{x + 2}}

を簡単にせよ。
(3)2次関数

y = 2 x^{2} - x + 1

の最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。

\frac{(2 + i)^{2}}{i}

を

a + b i

(a,bは実数)の形で表せ。
(5)

A B = 4, B C = \sqrt{7}, C A = \sqrt{3}

である△ABCにおいて、cos∠BACの値と△ABCの面積を求めよ。
(6)a,a,b,b,c,cの6文字を1列に並べるとき、並べ方は全部で何通りか。このうち、a,aが隣り合わないような並べ方は何通りか。

第2問-i：2次不等式
aは正の定数とする。実数xについての2つの不等式

a x^{2} + (2 a - 5) x - 2 a + 1 ＜ 0

･･･①、

│ 2 x - 3 │ ≦ 3

･･･②がある。
(1)a=2のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべての実数xに対して、①が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

第2問-ii：図形と方程式
xy平面上に、2つの円

C ₁ : x^{2} + y^{2} - 10 x - a^{2} - 4 a + 21 = 0 、 C 2 : x^{2} + y^{2} = 5

がある。また、C₂上の点P(2,1)におけるC₂の接線を

l

とする。ただし、aはa＞-2を満たす定数とする。
(1)a=1のとき、C₁の中心の座標と半径を求めよ。
(2)

l

の方程式を求めよ。
(3)C₁と

l

が接するようなaの値を求めよ。また、このときのC1と

l

の接点をQとするとき、線分PQの長さを求めよ。

第3問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式

f (x) = x^{3} + (a + 3) x^{2} + (3 a + b) x + 3 b

と、3次方程式

f (x) = 0

･･･(*)がある。
(1)f(-3)を求めよ。
(2)a=-1かつb=1のとき、(*)を解け。
(3)(*)が異なる2つの虚数解をもつためのa,bの条件を求めよ。
(4)a,bが(3)で求めた条件を満たすとし、(*)の異なる2つの虚数解をα,βとする。このとき、

α^{2}, β^{2}

がともに(*)の解となるようなa,bの値の組(a,b)をすべて求めよ。

第4問：確率
5枚のカード1,1,2,2,3が入った袋が1つあり、次の操作(I)を考える。
操作(I): 袋から2枚のカードを同時に取り出し、取り出した2枚のカードに書かれた数の和をXとし、取り出した2枚のカードを袋に戻す。
(1)操作(I)を1回行う。
(i)X=2となる確率を求めよ。
(ii)X=4となる確率を求めよ。
さらに、1枚の硬貨を用意し、操作(I)で定まるXの値に対して、次の操作(II)を考える。
操作(II):1枚の硬貨を投げ、表が出たらY=X+1とし、裏が出たらY=Xとする。
操作(I), (II)を(I), (II)の順に1回ずつ行うことを操作Tとする。
(2)操作Tを1回行う。
(i)Y=4となる確率を求めよ。
(ii)Yの期待値を求めよ。
(3)操作Tを3回繰り返すとき、3回のYの値の合計が15になる確率を求めよ。

第5問：三角関数
aを実数の定数とする。θの方程式

c o s 2 θ + 2 (5 a - 1) s i n θ - 12 a^{2} + 6 a - 1 = 0

･･･(*)がある
(1)cos2θをsinθを用いて表せ。
(2)a=0とする。0≦θ＜2πにおいて、(*)を解け。
(3)0≦θ＜2πにおいて、(*)が異なる4個の解をもつとする。
(i)aのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)0≦θ＜2πにおける(*)の4個の解を、小さい順にθ₁,θ₂,θ₃,θ₄とする。(θ₂-θ₁)+(θ₄-θ₃)=πとなるようなaの値を求めよ。

第6問：数列
nは自然数。等差数列{a_n}があり、a₁+a₂=8,a₄+a₅=20である。また、公比が実数である等比数列{b_n}があり、
b₁+b₂=4, b₄+b₅=108である。
(1)数列{a_n}の一般項を求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2)数列{b_n}の一般項を求めよ。
(3)数列{c_n}は、左から順に次のような項が並べられた数列である。 b₁がa₁個、b₂がa₂個、b₃がa₃個、...、b_nがa_n個、... すなわち、{c}: b₁,...,b₁, b₂,...,b₂, b₃,..,b₃,...,b_n,...,b_n,...
(i)C₂₀₂₃の値を求めよ。ただし、結果は2¹⁰⁰のように指数表示のままでよい。
(ii)

\sum_{k = 1}^{2023} c_{k}

の値を求めよ。ただし、結果は

2^{100}

のように指数表示のままでよい。

チャプター：

0:00 オープニング
0:05 第1問の問題文：小問集合
0:10 (1)展開
0:48 (2)繁分数の整理
1:43 (3)2次関数の最小値
3:18 (4)iを含む式の整理
4:20 (5-i)余弦定理
5:23 (5-ii)三角形の面積
6:08 (6-i)同じものを含む順列
7:03 (6-ii)隣り合わない並べ方

8:06 第2問-iの問題文：2次不等式
8:17 (1)2次不等式を解け
9:15 (2)絶対値付きの不等式
10:12 (3)絶対不等式

12:00 第2問-iiの問題文：図形と方程式
12:21 (1)円の中心と半径
13:37 (2)円周上の点における接線
14:25 (3)lに接するときの半径。線分の長さ

17:13 第3問の問題文：複素数と方程式
17:27 (1)f(-3)の値
18:08 (2)高次方程式を解け
20:54 (3)虚数解をもつ条件
21:42 (4)条件を満たすa,bの組

27:25 第4問の問題文：確率
27:48 (1-i)X=2のとき
28:23 (1-ii)X=4のとき
29:05 (2-i)Y=4のとき
30:41 (2-ii)Yの期待値
33:31 (3)Yの合計が15になるとき

35:15 第5問の問題文：三角関数
35:25 (1)2倍角の公式
35:37 (2)三角方程式
37:17 (3-i)解を4個持つ条件
39:57 (3-ii)条件を満たすaの値

44:25 第6問の問題文：数列
44:52 (1)等差数列の一般項と和
47:00 (2)等比数列の一般項
48:23 (3-i)2023番目の値
51:37 (3-ii)2023番目までの和
56:36 エンディング

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
(1)

(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)

を展開せよ。
(2)

\frac{x - 1}{1 + \frac{1}{x + 2}}

を簡単にせよ。
(3)2次関数

y = 2 x^{2} - x + 1

の最小値を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。

\frac{(2 + i)^{2}}{i}

を

a + b i

(a,bは実数)の形で表せ。
(5)

A B = 4, B C = \sqrt{7}, C A = \sqrt{3}

a x^{2} + (2 a - 5) x - 2 a + 1 ＜ 0

･･･①、

│ 2 x - 3 │ ≦ 3

C ₁ : x^{2} + y^{2} - 10 x - a^{2} - 4 a + 21 = 0 、 C 2 : x^{2} + y^{2} = 5

がある。また、C₂上の点P(2,1)におけるC₂の接線を

l

とする。ただし、aはa＞-2を満たす定数とする。
(1)a=1のとき、C₁の中心の座標と半径を求めよ。
(2)

l

の方程式を求めよ。
(3)C₁と

l

が接するようなaの値を求めよ。また、このときのC1と

l

の接点をQとするとき、線分PQの長さを求めよ。

第3問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式

f (x) = x^{3} + (a + 3) x^{2} + (3 a + b) x + 3 b

と、3次方程式

f (x) = 0

α^{2}, β^{2}

c o s 2 θ + 2 (5 a - 1) s i n θ - 12 a^{2} + 6 a - 1 = 0

\sum_{k = 1}^{2023} c_{k}

の値を求めよ。ただし、結果は

2^{100}

のように指数表示のままでよい。

投稿日：2024.07.20

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問題文全文(内容文)：
1個のさいころを繰り返し投げ、次の規則に従って数直線上の点Pを動かす。
・原点から出発して、1回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
・2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・以下同様に、直前の回で点Pgaとまった位置から出発して、奇数回目の移動では出た目の数だけ点Pを負の方向に動かし、偶数回目の移動では出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
例えば、さいころを4回投げて順に5,5,2,6の目が出た場合、点Pの座標は順に、-5,0,-2,4となる。
(1)2回目の移動後に点Pの座標が0となる確率は(ア)/(イ)、4となる確率は(ウ)/(エオ)、5となる確率は(カ)/(キク)である。
(2)4回目の移動後に点Pの座標が9となるのは、点Pの座標が2回目の移動後に(ケ)となり、4回目の移動後に9となる場合、または点Pの座標が2回目の移動後に(コ)となり、4回目の移動後に9となる場合のいずれかである。ただし、(ケ)と(コ)の順序は問わない。
よって、4回目の移動後に点Pの座標が9となる確率は(サ)/(シスセ)である。
また、4回目の移動後に点Pの座標が9であったとき、3回目の移動後の点Pの座標が4である条件付き確率は(ソ)/(タ)である。
(3)7回目の移動後に点Pの座標が13となる確率は(チ)/(ツ)^(テ)である。

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【数A】図形の性質：高3 5月K塾共通テスト数学IA第5問

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問題文全文(内容文)：
△ABCにおいて、

A B = 3, A C = 6, ∠ B A C = 90 °

であるとき、

B C = (ア) \sqrt{(イ)}

である。Aを中心とし、Bを通る円をKとし、円Kと直線ACの交点のうち辺AC上にある方をD、もう一方をEとする。また、円Kと直線BCの交点でBと異なるものをFとする。このとき、CE=(ウ)であり、方べきの定理を用いると、

C F = \frac{(エ) \sqrt{(オ)}}{(カ)}

とわかるから

\frac{B F}{F C} = \frac{(キ)}{(ク)}

である。さらに、直線EFと辺ABの交点をP、直線EFと線分BCの交点をQとすると、

\frac{B Q}{Q D} = (ケ)

であり、△BFQの面積は

\frac{(コ)}{(サ シ)}

である。また、△CPQの面積は

\frac{(ス)}{(セ)}

である。

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2024年度第1回K塾記述模試数学Ⅲ型全問解説

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【１】
(1)　不等式

2 | x - 2 | - x ≦

4を解け。
(2)　関数

f (x) = \log_{2} (x - 1) + 2 \log_{4} (3 - 2 x)

の最大値を求めよ。
(3)　曲線

y = x^{3} + 2 x^{2}

とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4)　

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4 k^{2} - 1}

をnを用いて表せ。
(5)　

O A = 2 ， O B = 3 ， ∠ A O B = 60 °

である三角形

O A B

において辺

A B

を

1 : 3

に内分する点を

C

とする。
(ⅰ)　

O C

を

O A, O B

を用いて表せ。
(ⅱ)　

| O C |

を求めよ。

【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。

k

回目（

k = 1, 2, 3, \dots

）に奇数の目が出たら、その目の数を

x_{k}

とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を

x_{k}

とする。

S_{n} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}

　(

n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots

) と定める。
(1)　

S_{1} = 3

である確率、

S_{2} = 6

である確率をそれぞれ求めよ。
(2)　

S_{4} = 12

　である確率を求めよ。
(3)　

S_{4} = 12

　であったとき、

S_{2} = 6

である確率を求めよ。

【３】

A

を正の定数とし、

0 ≦ θ < 2 π

において、

θ

の方程式

a \sin 2 θ - 2 a^{2} \cos θ - \sin θ + a = 0

　　…（*）を考える。
(1)　

a = 1

のとき、（＊）を解け。
(2)　（＊）がちょうど３つの解をもつような

a

の値を求めよ。
(3)　（＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを

α

、最大のものを

β

とするとき、

α + β

の値を求めよ。

【４】

x y

平面上において、連立不等式

x ≧ 0 ， y ≧ 0 ， x + y ≦ 1

で表された領域を

D

とする。
(1)　点P(

x ， y

)が

D

上を動くとき

X = 2 x - 6 y ， Y = 5 x + y

によって定められる点

Q

（

X ， Y

）が存在する領域を

X Y

平面上図示せよ。
(2)　

a

を実数の定数とする。点

P

（

x ， y

）が

D

上を動くとき　　

(2 x - 6 y - a)^{2} + (5 x + y)^{2}

の最大値を

a

を用いて表せ。

【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円

C_{1}

がある。

C_{1}

の右側にあり、

C_{1}

と

l

に接する円を

C_{2}

とする。

C_{n}

の中心を

A_{n}

，半径を

r_{n} ， C_{n}

と

l

の接点を

B_{n}

とすると

A_{n} B_{n} ： A_{n} A_{(} n + 1) = 1 ： p

が成り立っている。ただし、

p

は

1 < p < 2

を満たす定数とする。
(1)　

r_{(} n + 1)

を

r_{n}

，

p

を用いて表し、

r_{n}

求めよ。また、

Σ r_{n} = 3

となるような

p

の値を求めよ。
(2)　

p

を(1)で求めた値とする。
(ⅰ)　

B_{n} B_{n + 1}

を求めよ
(ⅱ)　極限値

lim_{n \to \infty} B_{1} B_{n}

を求めよ
(ⅲ)　

α ＝ lim_{n \to \infty} B_{1} B_{n}

とし、

β

を正の定数とする。　　　極限

lim_{n \to \infty} (B 1 B n － α) β n

が0以外の値に収束するよう

β

の値と、そのときの極限値を求めよ。

【６】

a

を正の定数とし、

i

を虚数単位とする。複素数

z

に関する2つの方程式

z^{3} = － 8 i

…①　　

z^{2} － 2 a z + 8 = 0

…②　　を考える。
(1)　①を満たす

z

について、

z

の極形式を

z = r (\cos θ + i \sin θ) r > 0 ， 0 ≦ θ < 2 π

と表すとき、

r, θ

の値を求めよ。
(2)　②が異なる2つの虚数解

α, β

を持ち、複素数平面上で3点

0, α, β

を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、(

α

の虚部)>(

β

の虚部)。 (ⅰ)　

a

の値と

α, β

を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上

2 π

未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを

γ

とする。複素数平面上で3点

α, β, γ^{n}

を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数

n

を求めよ。

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【英語】2021年第2回K塾記述模試解説大問4 -2～後編～

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
和訳問題：Interesting as this sounds, the story has a flaw.

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【2018年5月K塾マーク】全教科概観～数学でとれなかったのは仕方ない？！～全国模試1位の勉強法【篠原好】

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：篠原好【京大模試全国一位の勉強法】

問題文全文(内容文)：
数学でとれなかったのは仕方ない？！
「2018年5月全統マーク」についてお話しています。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 【数学】2023年度 第2回 K塾高2模試 全問解説

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