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共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します

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共通テスト(プレテスト)の解説動画です

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}　[1](1)次の問題Aについて考えよう。\\
問題A　関数y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta　(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})の最大値を求めよ。\\
\\
\sin\frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\frac{\sqrt3}{2},　\cos\frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\frac{1}{2}　であるから、三角関数の合成により\\
y=\boxed{\ \ イ\ \ }\sin(\theta+\frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }})\\
\\
と変形できる。よって、yは\theta=\frac{\pi}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}で最大値\boxed{\ \ エ\ \ }をとる。\\
\\
(2)pを定数とし、次の問題Bについて考えよう。\\
問題B　関数y=\sin\theta+p\cos\theta　(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})の最大値を求めよ。\\
(\textrm{i})p=0のとき、yは\theta=\frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}で最大値\boxed{\ \ カ\ \ }をとる。\\
\\
(\textrm{ii})p \gt 0のときは、加法定理\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alphaを用いると\\
y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}\cos(\theta-\alpha)\\
\\
と表すことができる。ただし\alphaは\sin\alpha=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}},　\cos\alpha=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}},　0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\\
\\
を満たすものとする。このとき、yは\theta=\boxed{\ \ コ\ \ }で最大値\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}をとる。\\
\\
(\textrm{iii})p \lt 0のとき、yは\theta=\boxed{\ \ シ\ \ }で最大値\sqrt{\boxed{\ \ ス\ \ }}をとる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }～\boxed{\ \ ケ\ \ }、\boxed{\ \ サ\ \ }、\boxed{\ \ ス\ \ }の解答群\\
⓪-1　　　①1　　　②-p　　　③p　　　\\
④1-p　　　⑤1+p　　　⑥-p^2　　　⑦p^2　　　⑧1-p^2　　　\\
⑨1+p^2　　　ⓐ(1-p)^2　　　ⓑ(1+p^2)　　　\\
\\
\\
\boxed{\ \ コ\ \ }、\boxed{\ \ シ\ \ }の解答群\\
⓪0　　　　①\alpha　　　　②\frac{\pi}{2}\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第2問}\\
[1]　花子さんと太郎さんのクラスでは、文化祭でたこ焼き店を出店することになった。\\
二人は1皿当たりの価格をいくらにするかを検討している。次の表は、過去の文化祭で\\
のたこ焼き店の売り上げデータから、1皿あたりの価格と売り上げ数の関係を\\
まとめたものである。\\
\\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline 1皿あたりの価格(円) & 200 & 250 & 300\\
\hline 売り上げ数(皿) & 200 & 150 & 100\\\hline
\end{array}\\
\\
(1)まず、二人は、上の表から、1皿あたりの価格が50円上がると売り上げ数が\\
50皿減ると考えて、売り上げ数が1皿あたりの価格の1次関数で表される\\
と仮定した。このとき、1皿あたりの価格をx円とおくと、売り上げ数は\\
\boxed{\ \ アイウ\ \ }-x　\cdots①\\
\\
と表される。\\
\\
(2)次に、二人は、利益の求め方について考えた。\\
花子:利益は、売り上げ金額から必要な経費を引けば求められるよ。\\
太郎:売上金額は、1皿あたりの価格と売り上げ数の積で求まるね。\\
花子:必要な経費は、たこ焼き用器具の賃貸料と材料費の合計だね。\\
材料費は、売り上げ数と1皿あたりの材料費の積になるね。\\
\\
二人は、次の三つの条件のもとで、1皿あたりの価格xを用いて\\
利益を表すことにした。\\
\\
(条件1)　1皿あたりの価格がx円のときの売り上げ数として①を用いる。\\
(条件2)　材料は、①により得られる売り上げ数に必要な分量だけ仕入れる。\\
(条件3)　1皿あたりの材料費は160円である。たこ焼き用器具の賃貸料は\\
6000円である。材料費とたこ焼き用器具の賃貸料以外の経費はない。\\
\\
利益はy円とおく。yをxの式で表すと\\
y=-x^2+\boxed{\ \ エオカ\ \ }x-\boxed{\ \ キ\ \ }×10000　\cdots②\\
である。\\
\\
(3)太郎さんは利益を最大にしたいと考えた。②を用いて考えると、利益\\
が最大になるのは1個あたりの価格が\boxed{\ \ クケコ\ \ }円のときであり、\\
そのときの利益は\boxed{\ \ サシスセ\ \ }円である。\\
\\
(4)花子さんは、利益を7500円以上となるようにしつつ、できるだけ安い\\
価格で提供したいと考えた。②を用いて考えると、利益が7500円以上となる\\
1皿あたりの価格のうち、最も安い価格は\boxed{\ \ ソタチ\ \ }円となる。\\
\\
[2]　総務省が実施している国勢調査では都道府県ごとの総人口が調べられており、\\
その内訳として日本人人口と外国人人口が公表されている。また、外務省では旅券\\
(パスポート)を取得した人数を都道府県ごとに公表している。加えて\\
文部科学省では都道府県ごとの小学校に在籍する児童数を公表している。\\
そこで、47都道府県の、人口1万人あたりの外国人人口(以下、外国人数)、\\
人口1万人当たりの小学校児童数(以下、小学生数)、また、日本人1万人あたり\\
の旅券を取得した人数(以下、旅券取得者数)を、それぞれ計算した。\\
次の(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})は図1(動画参照)の散布図に関する記述\\
である。\\
\\
(\textrm{I})小学生数の四分位範囲は、外国人数の四分位範囲より大きい。\\
(\textrm{II})旅券取得者数の範囲は、外国人数の範囲より大きい。\\
(\textrm{III})旅券取得者数と小学生数の相関係数は、旅券取得者数と外国人数\\
の相関係数より大きい。\\
\\
(\textrm{I}),(\textrm{II}),(\textrm{III})の正誤の組み合わせとして正しいものは\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}である。\\
(\boxed{\boxed{\ \ ツ\ \ }}の解答群は動画参照)\\
\\
\\
(2)一般に、度数分布表\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
階級値 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_k & 計\\\hline
度数 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & \cdots & f_k & n\\\hline
\end{array}\\
\\
が与えられていて、各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に\\
等しいと仮定すると、平均値\bar{x}は\\
\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1f_1+x_2f_2+x_3f_3+x_4f_4+\cdots+x_kf_k)\\
\\
で求めることができる。さらに階級の幅が一定で、その値がhのときは\\
x_2=x_1+h,　x_3=x_1+2h,　x_4=x_1+3h,　\cdots,　x_k=x_1+(k-1)h\\
に注意すると\\
\bar{x}=\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}\\
と変形できる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ テ\ \ }}については、最も適当なものを、次の⓪～④のうちから一つ\\
選べ。\\
⓪\frac{x_1}{n}(f_1+f_2+f_3+f_4+\cdots+f_k)\\
①\frac{h}{n}(f_1+2f_2+3f_3+4f_4+\cdots+kf_k)\\
②x_1+\frac{h}{n}(f_2+f_3+f_4+\cdots+f_k)\\
③x_1+\frac{h}{n}(f_2+2f_3+3f_4+\cdots+(k-1)f_k)\\
④\frac{1}{2}(f_1+f_k)x_1-\frac{1}{2}(f_1+kf_k)\\
\\
図2は、2008年における47都道府県の旅券取得者数のヒストグラムである。\\
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を\\
含まない。\\
\\
図2(※動画参照)のヒストグラムに関して、各階級に含まれるデータの値が\\
すべてその階級値に等しいと仮定する。このとき、平均値\bar{x}は小数第1位を\\
四捨五入すると\boxed{\ \ トナニ\ \ }である。\\
\\
(3)一般に、度数分布表\\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
階級値 & x_1 & x_2 & \cdots & x_k & 計\\\hline
度数 & f_1 & f_2 & \cdots & f_k & n\\\hline
\end{array}\\
\\
が与えられていて、各階級に含まれるデータの値が全てその階級値に\\
等しいと仮定すると、分散s^2は\\
s^2=\frac{1}{n}\left\{(x_1-\bar{x})^2f_1+(x_2-\bar{x})^2f_2+\cdots+(x_k-\bar{x})^2f_k\right\}\\
で求めることができる。さらにs^2は\\
s^2=\frac{1}{n} \left\{(x_1^2f_1+x_2^2f_2+\cdots+x_k^2f_k)-2\bar{x}× \boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}+(\bar{x})^2×\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}\right\}\\
\\
と変形できるので\\
s^2=\frac{1}{n}(x_1^2f_1+x_2^2f_2+\cdots+x_k^2f_k)-\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}　\cdots①\\
である。\\
\boxed{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)\\
⓪n　①n^2　②\bar{x}　③n\bar{x}　④2n\bar{x}　\\
⑤n^2\bar{x}　⑥(\bar{x})^2　⑦n(\bar{x})^2　⑧2n(\bar{x})^2　⑨3n(\bar{x})^2　\\
\\
図3(※動画参照)は図2を再掲したヒストグラムである。\\
\\
\\
図3のヒストグラムに関して、各階級に含まれるデータの値が全て\\
その階級値に等しいと仮定すると、平均値\bar{x}は(2)で求めた\boxed{\ \ トナニ\ \ }\\
である。\boxed{\ \ トナニ\ \ }の値と式①を用いると、分散s^2は\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}である。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ ハ\ \ }}については、最も近いものを、次の⓪～⑦のうちから一つ選べ。\\
⓪3900　①4900　②5900　③6900　\\
④7900　⑤8900　⑥9900　⑦10900　\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
[1]自然数nに対して、S_n=5^n-1とする。さらに、数列\left\{a_n\right\}の初項から\\
第n項までの和がS_nであるとする。このとき、a_1=\boxed{\ \ ア\ \ }である。また\\
n \geqq 2のとき\\
a_n=\boxed{\ \ イ\ \ }・\boxed{\ \ ウ\ \ }^{n-1}\\
である。この式はn=1の時にも成り立つ。\\
上で求めたことから、すべての自然数nに対して\\
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}\left(1-\boxed{\ \ キ\ \ }^{-n}\right)\\
が成り立つことが分かる。\\
\\
[2]太郎さんは和室の畳を見て、畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。\\
ちょうど手元にタイルがあったので、畳をタイルに置き換えて、\\
数学的に考えることにした。\\
縦の長さが1、横の長さが2の長方形のタイルが多数ある。\\
それらを縦か横の向きに、隙間も重なりもなく敷き詰めるとき、\\
その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。\\
\\
上の図(※動画参照)のように、縦の長さが3,横の長さが2nの長方形をR_nとする。\\
3n枚のタイルを用いたR_n内の配置の総数をr_nとする。\\
n=1のときは、下の図(※動画参照)のようにr_1=3である。\\
\\
また、n=2ｎときは、下の図(※動画参照)のようにr_2=11である。\\
\\
(1)太郎さんは次のような図形T_n内の配置を考えた。\\
(3n+1)枚のタイルを用いたT_n内の配置の総数をt_nとする。n=1\\
のときは、t_1=\boxed{\ \ ク\ \ }である。\\
さらに、太郎さんはT_n内の配置について、右下隅のタイルに注目して\\
次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
t_n=Ar_n+Bt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、A=\boxed{\ \ ケ\ \ },　B=\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
以上から、t_2=\boxed{\ \ サシ\ \ }であることが分かる。\\
同様に、R_nの右下隅のタイルに注目して次のような図(※動画参照)をかいて考えた。\\
\\
この図(※動画参照)から、2以上の自然数nに対して\\
r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}\\
が成り立つことが分かる。ただし、C=\boxed{\ \ ス\ \ },　D=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
\\
(2)畳を縦の長さが1,　横の長さが2の長方形と見なす。縦の長さが3,　横の長さが6\\
の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ ソタ\ \ }である。\\
また、縦の長さが3、横の長さが8の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき、\\
敷き詰め方の総数は\boxed{\ \ チツテ\ \ }である。
\end{eqnarray}