問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)$0\leqq \theta <2\pi$のとき
$\sin \theta >\sqrt{3}\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$　$\cdots$①
となる$\theta$の値の範囲を求めよう。
加法定理を用いると

$\sqrt{3}\cos (\theta -\frac{\pi }{3})=$${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\sin \theta }}$

である。よって、三角関数の合成を用いると、①は

$\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}})<0$

と変形できる。したがって、求める範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}\pi <\theta <\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\pi }$

である。

(2)$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし、$k$を実数とする。$\sin \theta$と$\cos \theta$は$x$の2次方程式
$25x^2-35x+k=0$の解であるとする。このとき、解と係数の関係に
より$\sin \theta +\cos \theta$と$\sin \theta \cos \theta$の値を考えれば、$k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}$で
あることがわかる。

さらに、$\theta$が$\sin \theta \geqq \cos \theta$を満たすとすると、$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}},}$
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$である。このとき、$\theta$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$を満たす。
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$に当てはまるものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$

①${\displaystyle \frac{\pi }{12}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}$

②${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$

③${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$

④${\displaystyle \frac{\pi }{3}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{5}{12}\pi }}$

⑤${\displaystyle \frac{5}{12}\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$


[2](1)$t$は正の実数であり、$t^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}-t^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}}=-3$を満たすとする。このとき

$t^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}+t^{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}\mathrm{チ}}}$

である。さらに

$t^{\frac{1}{2}}+t^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}},$$t-t^{-1}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}$

である。

(2)$x,y$は正の実数とする。連立方程式
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\log }_3(x\sqrt{y})\leqq 5 \cdots \mathrm{②}\\ {\log }_{81}\frac{y}{x^3}\leqq 1 \cdots \mathrm{③}\end{array}\end{array}$

について考える。
$X={\log }_{3}x,$　$Y={\log }_{3}y$とおくと、②は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}X+Y\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$　$\cdots$④
と変形でき、③は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}X-Y\geqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}\mathrm{フ}}}$　$\cdots$⑤
と変形できる。
$X,Y$が④と⑤を満たすとき、$Y$の取り得る最大の整数の値は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}$である。また、$x,y$が②,③と${\log }_{3}y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}$を同時に
満たすとき、xの取り得る最大の整数の値は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}2\mathrm{問}$
$a>0$とし、$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$　とおく。座標平面上で、放物線
$y=x^2+2x+1$　を$C,$放物線$y=f(x)$を$D$とする。また、$l$を$C$と$D$の両方に
接する直線とする。

(1)lの方程式を求めよう。
$l$と$C$は点$(t,$　$t^2+2t+1)$において接するとすると、$l$の方程式は
$y=(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}t+\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}})x$$-t^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$　$\cdots$①
である。また、$l$と$D$は点$(s,$　$f(s))$において接するとすると、$l$の方程式は
$y=(\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}s-\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}})x$$-s^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{a}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$　$\cdots$②

である。ここで、①と②は同じ直線を表しているので、$t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}},$
$s=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}a$が成り立つ。
したがって、$l$の方程式は$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}x+\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。

(2)二つの放物線$C,D$の交点のx座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
$C$と直線$t,$および直線$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$で囲まれた図形の面積を$S$とすると
$S={\displaystyle \frac{a^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$である。

(3)$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$とする。二つの放物線$C,D$と直線$l$で囲まれた図形の中で
$0\leqq x\leqq 1$を満たす部分の面積$T$は、$a>\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$のとき、$a$の値によらず
$T={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}}$
であり、${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}$のとき
$T=-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}{a}^3+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}{a}^2$$-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$
である。

(4)次に、(2),(3)で定めた$S,T$に対して、$U=2T-3S$とおく。$a$が
${\displaystyle \frac{1}{2}\leqq a\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}$の範囲を動くとき、$U\mathrm{は}a={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}}$で
最大値${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}\mathrm{フ}}}}}$をとる。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
「高2生もセンター試験を試してほしい！」理由についてお話しています。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}4\mathrm{問}$
点$O$を原点とする座標空間に2点
$A(3, 3, -6),$　$B(2+2\sqrt{3},$　$2-2\sqrt{3}, -4)$
をとる。3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とする。また、$\alpha$に含まれる点$C$は

$\overrightarrow{OA}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OC},$　$\overrightarrow{OB}\mathrm{・}\overrightarrow{OC}=24$　$\cdots$①

を満たすとする。

(1)　$|\overrightarrow{OA}|=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}},$　$|\overrightarrow{OB}|=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}$であり、
$\overrightarrow{OA}\mathrm{・}\overrightarrow{OB}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}\mathrm{カ}}}$である。

(2)点$C$は平面$\alpha$上にあるので、実数$s,$　$t$を用いて、$\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$と
表すことができる。このとき、①から$s={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}},}$　$t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。
したがって、$|\overrightarrow{OC}|=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}$である。

(3)$\overrightarrow{CB}=(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}}})$である。したがって、平面$\alpha$上の
四角形$OABC$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$。
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$に当てはまるものを、次の⓪～④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

$\overrightarrow{OA}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OC}$であるので、四角形$OABC$の面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}$である。

(4)$\overrightarrow{OA}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OD},$　$\overrightarrow{OC}\mathrm{・}\overrightarrow{OD}=2\sqrt{6}$かつ$z$座標が1であるような点$D$の座標は
$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}},}$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}, 1)}$
である。このとき$\mathrm{\angle }COD=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}\mathrm{ヒ}}}°$である。
3点$O,C,D$の定める平面を$\beta$とする。$\alpha$と$\beta$は垂直であるので、三角形
$ABC$を底面とする四面体$DABC$の高さは$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}}$である。したがって、
四面体$DABC$の体積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}$　である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
動画内の図を参照して求めよ
（1）
$AP$

（2）
$OD$

（3）
$\cos \mathrm{\angle }OAD$

（4）
$AC$

（5）
$\mathrm{△}ABC$