問題文全文(内容文)：
【１】
(1) 不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2) 関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3) 曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5) $OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ) $OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ) $|OC|$を求めよ。
【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$ ($n=1，2，3，…$) と定める。
(1) $S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2) $S_4=12$ である確率を求めよ。
(3) $S_4=12$ であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。
【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$ …（*） を考える。
(1) $a=1$のとき、（＊）を解け。
(2) （＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3) （＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。
【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1) 点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2) $a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき $(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。
【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1) $r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2) $p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ) $\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ) 極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ) $\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。 極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。
【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…① $z^2－2az+8=0$…② を考える。
(1) ①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2) ②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ) $a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。
【１】
(1) 不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2) 関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3) 曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5) $OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ) $OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ) $|OC|$を求めよ。
【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$ ($n=1，2，3，…$) と定める。
(1) $S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2) $S_4=12$ である確率を求めよ。
(3) $S_4=12$ であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。
【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$ …（*） を考える。
(1) $a=1$のとき、（＊）を解け。
(2) （＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3) （＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。
【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1) 点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2) $a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき $(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。
【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1) $r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2) $p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ) $\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ) 極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ) $\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。 極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。
【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…① $z^2－2az+8=0$…② を考える。
(1) ①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2) ②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ) $a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。
チャプター：
0:00 動画概要
0:35 大問1(1)
1:44 大問1(2)
4:27 大問1(3)
5:39 大問1(4)
7:13 大問1(5)
9:45 大問2(1)
13:20 大問2(2)
16:34 大問2(3)
19:15 大問3(1)
20:23 大問3(2)
25:36 大問3(3)
32:12 大問4(1)
34:33 大問4(2)
40:25 大問5(1)
44:20 大問5(2)
51:00 大問6(1)
53:52 大問6(2)
単元：
#大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【１】
(1) 不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2) 関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3) 曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5) $OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ) $OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ) $|OC|$を求めよ。
【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$ ($n=1，2，3，…$) と定める。
(1) $S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2) $S_4=12$ である確率を求めよ。
(3) $S_4=12$ であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。
【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$ …（*） を考える。
(1) $a=1$のとき、（＊）を解け。
(2) （＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3) （＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。
【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1) 点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2) $a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき $(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。
【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1) $r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2) $p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ) $\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ) 極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ) $\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。 極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。
【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…① $z^2－2az+8=0$…② を考える。
(1) ①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2) ②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ) $a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。
【１】
(1) 不等式$2| x-2|-x≦$4を解け。
(2) 関数$f(x)=\log_{ 2 } (x-1)+2\log_{ 4 } (3-2x)$の最大値を求めよ。
(3) 曲線$y=x^3+2x^2$とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}$をnを用いて表せ。
(5) $OA=2，OB=3，∠AOB=60°$である三角形$OAB$において辺$AB$を$1:3$に内分する点を$C$とする。
(ⅰ) $OC$を$OA,OB$を用いて表せ。
(ⅱ) $|OC|$を求めよ。
【２】
1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目（$k=1,2,3,…$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n$ ($n=1，2，3，…$) と定める。
(1) $S_1=3$ である確率、$S_2=6$ である確率をそれぞれ求めよ。
(2) $S_4=12$ である確率を求めよ。
(3) $S_4=12$ であったとき、$S_2=6$ である確率を求めよ。
【３】
$A$を正の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$において、$\theta$の方程式 $a\sin2\theta-2a^2\cos\theta-\sin\theta+a=0$ …（*） を考える。
(1) $a=1$のとき、（＊）を解け。
(2) （＊）がちょうど３つの解をもつような$a$の値を求めよ。
(3) （＊）がちょうど４つの解をもつとする。４つの解のうち、最小のものを$\alpha$、最大のものを$\beta$とするとき、$\alpha+\beta$の値を求めよ。
【４】
$xy$平面上において、連立不等式 $x\geqq 0，y\geqq 0，x+y\leqq 1$ で表された領域を$D$とする。
(1) 点P($x，y$)が$D$上を動くとき $X=2x-6y，Y=5x+y$ によって定められる点$Q$（$X，Y$）が存在する領域を$XY$平面上図示せよ。
(2) $a$を実数の定数とする。点$P$（$x，y$）が$D$上を動くとき $(2x-6y-a)^2+(5x+y)^2$ の最大値を$a$を用いて表せ。
【５】
平面上に直線lとそれに接する半径1の円$C_1$がある。$C_1$の右側にあり、$C_1$と$l$に接する円を$C_2$とする。 $C_n$の中心を$A_n$，半径を$r_n，C_n$と$l$の接点を$B_n$とすると $A_nB_n：A_nA_(n+1)=1：p$ が成り立っている。ただし、$p$は$1\lt p\lt 2$を満たす定数とする。
(1) $r_(n+1)$を$r_n$，$p$を用いて表し、$r_n$求めよ。 また、$Σr_n=3$となるような$p$の値を求めよ。
(2) $p$を(1)で求めた値とする。
(ⅰ) $\ B_nB_{n+1}$を求めよ
(ⅱ) 極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$を求めよ
(ⅲ) $\alpha＝\displaystyle\lim_{n\to\infty}{B_1B_n}$とし、$\beta$を正の定数とする。 極限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(B1Bn－\alpha)\beta n$が0以外の値に収束するよう$\beta$の値と、そのときの極限値を求めよ。
【６】
$a$を正の定数とし、$i$を虚数単位とする。複素数$z$に関する2つの方程式 $z^3=－8i$…① $z^2－2az+8=0$…② を考える。
(1) ①を満たす$z$について、$z$の極形式を $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r\gt 0，0\leqq\theta\lt 2\pi$ と表すとき、$r,\theta$の値を求めよ。
(2) ②が異なる2つの虚数解$\alpha,\beta$を持ち、複素数平面上で3点$0,\alpha,\beta$を頂点とする三角形の面積が４であるとする。ただし、($\alpha$の虚部)>($\beta$の虚部)。 (ⅰ) $a$の値と$\alpha,\beta$を求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上$2\pi$未満の値で考えるとき，①の解のうち偏角が最大であるものを$γ$とする。複素数平面上で3点$\alpha,\beta,γ^n$を頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数$n$を求めよ。
備考：■板書修正
0:35頃から解説する大問1(1)ですが
板書に誤りがございます。
ホワイトボードでは
x≧2→2（x-2）-x≧4
x2→2（2-x）-x≧4 となっておりますが、
正しくは、
x≧2→2（x-2）-x≦4
x＜2→2（2-x）-x≦4 となります。
■問題文修正
34:34頃から解説する大問4(2)ですが、画面左下に表示される問題文に誤りがございます。下から２行目の(5x+2y)²ですが、正しくは(5x+y)²となります。
画面右上のホワイトボードでは(5x+y)²として解説しておりますので、解説・解答に修正はございません。
0:35頃から解説する大問1(1)ですが
板書に誤りがございます。
ホワイトボードでは
x≧2→2（x-2）-x≧4
x2→2（2-x）-x≧4 となっておりますが、
正しくは、
x≧2→2（x-2）-x≦4
x＜2→2（2-x）-x≦4 となります。
■問題文修正
34:34頃から解説する大問4(2)ですが、画面左下に表示される問題文に誤りがございます。下から２行目の(5x+2y)²ですが、正しくは(5x+y)²となります。
画面右上のホワイトボードでは(5x+y)²として解説しておりますので、解説・解答に修正はございません。
投稿日：2024.05.19
