福田の数学〜東京工業大学2024年理系第2問〜関数方程式と曲線の長さ

問題文全文(内容文)：

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実数全体を定義域にもつ微分可能な関数

f (t)

g (t)

が次の6つの条件を満たしているとする。

f^{'} (t)

- f (t) g (t)

g^{'} (t)

{f (t)}^{2}

f (t)

＞0,　

| g (t) |

＜1,　

f (0)

=1,　

g (0)

=0
このとき

p (t)

{f (t)}^{2}

{g (t)}^{2}

q (t)

\log \frac{1 + g (t)}{1 - g (t)}

とおく。
(1)

p^{'} (t)

を求めよ。
(2)

q^{'} (t)

は定数関数であることを示せ。
(3)

lim_{t \to \infty} g (t)

を求めよ。
(4)

f (T)

g (T)

となる正の実数

T

に対して、媒介変数表示された平面曲線(

x

y

)=(

f (t)

g (t)

)　(0≦

t

≦

T

)の長さを求めよ。

単元：
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指導講師：福田次郎