【数学模試解説】2022年度第4回 K塾高2記述模試全問解説

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)

A B ＝ 5

B C ＝ 7

C A ＝ 6

の三角形ABCがある。

c o s ∠ B A C

の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

(2)aは実数の定数とする。xの2次方程式

x^{2} - 2 a x + 5 a - 6 = 0

が異なる2つの正の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

(3)方程式

x^{3} - 4 x ² + 8 = 0

を解け。

(4)mは実数の定数とする。座標平面における原点Oと直線

y = m x + m + 2

の距離が2より大きくなるようなmの値の範囲を求めよ。

(5)実数xが、

2^{x} + 2^{- x} = 3

を満たしている。

4^{x} + 4^{- x}

の値を求めよ。

(6)方程式

l o g_{4} (5 x - 1) = l o g_{2} (2 x - 1)

を解け。

大問2：三角関数
(1)

s i n \frac{π}{12}

c o s \frac{π}{12}

の値を求めよ。

(2)Oを原点とするxy平面上にOを中心とする半径1の円Eがあり、E上に3点

A (0, - 1)

B (\frac{- \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

C (\frac{1}{2}, \frac{- \sqrt{3}}{2})

がある。また、Eの上に点Pをとり、

P (c o s θ, s i n θ)

(0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

とするとき、Lを

L ＝ A P ² ＋ B P ² ＋ C P ²

と定める。
(i)Lをθで表せ。
(ii)θが

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

を変化するとき、Lの最大値、最小値とそれを与えるθの値を求めよ。

大問3：場合の数
1,2,3,4,5,6,7,8,9の9枚のカードをA,B,Cの3人に3枚ずつ配る。
(1)カードの配り方は全部で何通りあるか。
(2)Aのカードの番号がいずれも2の倍数であるような3人への配り方は何通りあるか。
(3)Aのカードの番号の積が3の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
(4)A,B,Cのカードの番号の積がそれぞれ6の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。

大問4：微分法
aを正の定数とし、関数f(x)を

f (x) = x^{3} - a x^{2} + 4 a - 8

とする。
連立不等式

y ≧ f (x), y ≦ f (0), x ≧ 0

を満たす整数の組

(x, y)

の個数を

N (a)

とする。
(1)

a = 2

のとき、f(x)の増減、極値を調べ、

y = f (x)

のグラフの概形をかけ。
(2)

N (2)

を求めよ。
(3)

f (x)

の極大値をMとする。曲線

y = f (x)

と直線

y = M

の共有点のx座標のうち、正であるものを求めよ。
(4)aを

\frac{9}{4} ＜ a ＜ \frac{5}{2}

を満たす定数とするとき、

N (a) = N (2)

となるようなaの値の範囲を求めよ。

大問5：数列
rは0以外の実数とする。数列

a_{n}

は、

a_{1} = 1

a_{n + 1} = r a_{n}

(n = 1, 2, 3, \dots)

を満たしている。また、この数列

a_{n}

に対して、数列

b_{n}

を、

b_{1} = - 1

b_{n + 1} = 2 b_{n} + a_{n}

(n = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。
(1)数列

a_{n}

の一般項を求めよ。
(2)数列

c_{n}

を

c_{n} = \frac{b_{n}}{r^{n}}

によって定める。
(i)

c_{n + 1}

を

r

と

c_{n}

を用いて表せ。
(ii)数列

c_{n}

の一般項を求めよ。
(3)

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}

とする。

r = 2

のとき、

S_{n}

を最小にする正の整数

n

の値をすべて求めよ。また、

r = 4

のとき、

S_{n}

を最小にする正の整数

n

の値をすべて求めよ。

チャプター：

0:00 オープニング
0:05 大問1の問題文
0:10 (1)解説：cos、面積
4:41 (2)解説：解の配置
6:57 (3)解説：高次方程式
9:29 (4)解説：点と直線の距離
11:35 (5)解説：指数の対称式
13:02 (6)解説：対数方程式
15:47 大問2の問題文
15:52 (1)の解説：sinπ/12、cosπ/12の値
17:15 (2-i)の解説：Lをθで表せ
20:21 (2-ii)の解説：Lの最大最小
23:47 大問3の問題文
23:52 (1)の解説：カードの分け方
25:12 (2)の解説：いずれも2の倍数
25:59 (3)の解説：積が3の倍数
27:07 (4)の解説：積が6の倍数
30:00 大問4の問題文
30:05 (1)の解説：グラフの概形
32:31 (2)の解説：格子点の個数
33:25 (3)の解説：f(x)と極大値の交点
35:06 (4)の解説：格子点が4個になるとき
38:22 大問5の問題文
38:27 (1)の解説：等比数列の一般項
39:12 (2-i)の解説：指数型の式変形
40:39 (2-ii)の解説：等差型と特性方程式型
44:12 (3)の解説：和が最小になるとき
48:23 エンディング

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)

A B ＝ 5

B C ＝ 7

C A ＝ 6

の三角形ABCがある。

c o s ∠ B A C

の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

(2)aは実数の定数とする。xの2次方程式

x^{2} - 2 a x + 5 a - 6 = 0

が異なる2つの正の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

(3)方程式

x^{3} - 4 x ² + 8 = 0

を解け。

(4)mは実数の定数とする。座標平面における原点Oと直線

y = m x + m + 2

の距離が2より大きくなるようなmの値の範囲を求めよ。

(5)実数xが、

2^{x} + 2^{- x} = 3

を満たしている。

4^{x} + 4^{- x}

の値を求めよ。

(6)方程式

l o g_{4} (5 x - 1) = l o g_{2} (2 x - 1)

を解け。

大問2：三角関数
(1)

s i n \frac{π}{12}

c o s \frac{π}{12}

の値を求めよ。

(2)Oを原点とするxy平面上にOを中心とする半径1の円Eがあり、E上に3点

A (0, - 1)

B (\frac{- \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

C (\frac{1}{2}, \frac{- \sqrt{3}}{2})

がある。また、Eの上に点Pをとり、

P (c o s θ, s i n θ)

(0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

とするとき、Lを

L ＝ A P ² ＋ B P ² ＋ C P ²

と定める。
(i)Lをθで表せ。
(ii)θが

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

f (x) = x^{3} - a x^{2} + 4 a - 8

とする。
連立不等式

y ≧ f (x), y ≦ f (0), x ≧ 0

を満たす整数の組

(x, y)

の個数を

N (a)

とする。
(1)

a = 2

のとき、f(x)の増減、極値を調べ、

y = f (x)

のグラフの概形をかけ。
(2)

N (2)

を求めよ。
(3)

f (x)

の極大値をMとする。曲線

y = f (x)

と直線

y = M

の共有点のx座標のうち、正であるものを求めよ。
(4)aを

\frac{9}{4} ＜ a ＜ \frac{5}{2}

を満たす定数とするとき、

N (a) = N (2)

となるようなaの値の範囲を求めよ。

大問5：数列
rは0以外の実数とする。数列

a_{n}

は、

a_{1} = 1

a_{n + 1} = r a_{n}

(n = 1, 2, 3, \dots)

を満たしている。また、この数列

a_{n}

に対して、数列

b_{n}

を、

b_{1} = - 1

b_{n + 1} = 2 b_{n} + a_{n}

(n = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。
(1)数列

a_{n}

の一般項を求めよ。
(2)数列

c_{n}

を

c_{n} = \frac{b_{n}}{r^{n}}

によって定める。
(i)

c_{n + 1}

を

r

と

c_{n}

を用いて表せ。
(ii)数列

c_{n}

の一般項を求めよ。
(3)

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}

とする。

r = 2

のとき、

S_{n}

を最小にする正の整数

n

の値をすべて求めよ。また、

r = 4

のとき、

S_{n}

を最小にする正の整数

n

の値をすべて求めよ。

投稿日：2024.01.08

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問題文全文(内容文)：
実数xについての2つの不等式

(x - a^{2}) (x - 2 a + 2) ≦ 0

・・・①

| 2 x - 1 | ≦ 2

・・・② がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1)

a = 0

のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)①かつ②を満たす整数xがちょうど1個だけ存在するようなaの値の範囲を求めよ。

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【数学】2020年度第4回 K塾記述高2模試全問解説

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問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)12/(3-√5)の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)b²+10bの値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数f(x)=2x²-6x+aの0≦x≦1における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、AB=3、BC=4、CA=2である。cos∠BACの値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式x³-x²-x-2=0を解け。
(5)円x²+y²=4上の点(1, √3)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式4^x-5・2-(x+1)+24=0を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、OA=√3-1、OB=√2、∠AOB=3π/4が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。∠AOD=θ(0＜θ＜3π/4)とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積をθを用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積をsinθ、cosθを用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与えるθの値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、N=12とし、123と並べたときは3桁の数で、N=123とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数f(x)=x³+ax²+bx+a²はx=-1で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)y=f(x)のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順にα、β、γとする。
(i)α＞-3を示せ。
(ii)P(3,0)、B(β,0)、C(γ,0)とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列{a[n]}{b[n]}がa[1]=3/2、a[n+1]=3/2a[n]-1/2 (n=1,2,3,...) b[1]=p、b[n+1]=b[n]+p-1/2(3/2)^(n-1) (n=1,2,3,...) を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)a[n]をnの式で表せ。
(2)b[n]をpとnの式で表せ。
(3)c[n]=b[n]-a[n]とする。c[n]がn=4で最大となるようなpの値を求めよ。

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数列{

a_{n}

}(

n = 1, 2, 3, . . .

)は初項-8、公差4の等差数列であり、数列{

b_{n}

} (

n = 1, 2, 3, . . .

)は初項から第n項までの和が

S_{n} \frac{3^{n}}{2} (n = 1, 2, 3, . . .)

で与えられる数列である。
(1)数列{

a_{n}

}の一般項

a_{n}

を求めよ。また、数列{

a_{n}

}の初項から第n項までの和を求めよ。 (2)

\sum_{k = 1}^{n} (a_{k})^{2}

を求めよ。
(3)数列{

b_{n}

}の一般項

b_{n}

を求めよ。 (4)nを3以上の整数とするとき、

\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} b_{k} |

を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロを1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。 (規則) ・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy 座標が2である条件付き確率を求めよ。

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