問題文全文(内容文)：
第3問
以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて43ページの正規分布表を用いてもよい。
(1)ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン1個の重さ(単位はg)を表す確率変数をXとする。mとσを正の実数とし、Xは正規分布N(m, ${\sigma }^2$)に従うとする。
(i)この母集団から1個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さがm g以上である確率P(X≧m)は
P(X≧m)=P$(\frac{X-m}{\sigma }\geqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}$
である。
(ii)母集団から無作為に抽出された大きさnの標本$X_1$, $X_2$, ..., $X_n$の標本平均を$\overline{X}$とする。$\overline{X}$の平均(期待値)と標準偏差はそれぞれ
E($\overline{X}$)=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$,　σ($\overline{X}$)=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$
となる。
n=400,　標本平均が30.0g,　標本の標準偏差が3.6gのとき、mの信頼度90%の信頼区間を次の方針で求めよう。
方針：Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数として、P($-z_0\leqq Z\leqq z_0$)=0.901 となる$z_0$を正規分布表から求める。この$z_0$を用いるとmの信頼度90.1%の信頼区間が求められるが、これを信頼度90%の信頼区間とみなして考える。
方針において、$z_0$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$.$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$である。
一般に、標本の大きさnが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。n=400は十分に大きいので、方針に基づくと、mの信頼度90%の信頼区間は$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}, \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪σ　①${\sigma }^2$　②$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$　③$\frac{{\sigma }^2}{n}$
④m　⑤2m　⑥$m^2$　⑦$\sqrt{m}$　
⑧$\frac{\sigma }{n}$　⑨$n\sigma$ⓐ$nm$　ⓑ$\frac{m}{n}$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪28.6≦m≦31.4　①28.7≦m≦31.3　②28.9≦m≦31.1　
③29.6≦m≦30.4　④29.7≦m≦30.3　⑤29.9≦m≦30.1
(2)(1)の確率変数Xにおいて、m=30.0, σ=3.6とした母集団から無作為にピーマンを1個ずつ抽出し、ピーマン2個を1組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピーマン2個を1組にしたものを25袋作る。その際、1袋ずつの重さの分数を小さくするために、次のピーマン分類法を考える。
ピーマン分類法：無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが30.0g以下のときをSサイズ、30.0gを超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び、ピーマン2個を1組とした袋を作る。
(i)ピーマンを無作為に50個抽出した時、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率$p_0$を考えよう。無作為に1個抽出したピーマンがSサイズである確率は$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$である。ピーマンを無作為に50個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_0$とすると、$U_0$は二項分布$B(50,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})$に従うので
$p_0$=${}_{50}{C}_{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}\times {\left(\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}\right)}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}\times {(1-\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})}^{50-\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}$
となる。
$p_0$を計算すると、$p_0$=0.1122...となることから、ピーマンを無作為に50個抽出したとき、25袋作ることができる確率は0.11程度とわかる。
(ii)ピーマン分類法で25袋作ることができる確率が0.95以上となるようなピーマンの個数を考えよう。
kを自然数とし、ピーマンを無作為に(50+k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数を表す確率変数を$U_k$とすると、$U_k$は二項分布$B(50+k,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}})$に従う。
(50+k)は十分に大きいので、$U_k$は近似的に正規分布$N(\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}})$に従い、$Y=\frac{U_k-\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}}}$とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0,1)に従う。
よって、ピーマン分類法で、25袋作ることができる確率を$p_k$とすると
$p_k$=$P(25\leqq U_k\leqq 25+k)$=$P(-\frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}}{\sqrt{50+k}}\leqq Y\leqq \frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}}{\sqrt{50+k}})$
となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$=a, $\sqrt{50+k}$=$\beta$とおく。
$p_k$≧0.95になるような$\frac{\alpha }{\beta }$について、正規分布表から$\frac{\alpha }{\beta }$≧1.96を満たせばよいことが分かる。ここでは
$\frac{\alpha }{\beta }$≧2　...①
を満たす自然数kを考えることとする。①の両辺は正であるから、${\alpha }^2$≧4${\beta }^2$を満たす最小のkを$k_0$とすると、$k_0$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$であることがわかる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$の計算においては、$\sqrt{51}=7.14$を用いてもよい。
したがって、少なくとも(50+$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$)個のピーマンを抽出しておけば、ピーマン分類法で25袋作ることができる確率は0.95以上となる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}$～$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪k　①2k　②3k　③$\frac{50+k}{2}$
④$\frac{25+k}{2}$　⑤25+k　⑥$\frac{\sqrt{50+k}}{2}$　⑦$\frac{50+k}{4}$

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
[1]座標平面上に点A(-8,0)をとる。また、不等式
$x^2+y^2-4x-10y+4\leqq 0$
の表す領域をDとする。

(1)領域Dは、中心が点$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}})$、半径が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$の円の
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$の解答群
⓪　周　　　①　内部　　　②　外部　　　
③　周および内部　　　④　周および外部　　

以下、点$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}})$をQとし、方程式
$x^2+y^2-4x-10y+4=0$
の表す図形をCとする。

(2)点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
$(\text{i})(1)$により、直線$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$は点Aを通るCの接線の一つとなること
がわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。

太郎:直線lの方程式は$y=k(x+8)$と表すことができるから、
これを
$x^2+y^2-4x-10y+4=0$
に代入することで接線を求められそうだね。
花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも
求められそうだよ。

$(\text{ii})$　太郎さんの求め方について考えてみよう。
$y=k(x+8)$を$x^2+y^2-4x-10y+4=0$に代入すると、
xについての2次方程式
$(k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0$
が得られる。この方程式が$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$ときのkの値が接線の傾きとなる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$の解答群
⓪重解をもつ
①異なる２つの実数解をもち、1つは0である
②異なる２つの正の実数解をもつ
③正の実数解と負の実数解をもつ
④異なる2つの負の実数解をもつ
⑤異なる2つの虚数解をもつ

$(\text{iii})$花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角を$\theta (0<\theta \leqq \frac{\pi }{2})$とすると
$\tan \theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}$
であり、直線$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$と異なる接線の傾きは$\tan \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$
と表すことができる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$の解答群
⓪$\theta$　　　①$2\theta$　　　②$(\theta +\frac{\pi }{2})$
③$(\theta -\frac{\pi }{2})$　　　④$(\theta +\pi )$　　　⑤$(\theta -\pi )$
⑥$(2\theta +\frac{\pi }{2})$　　　⑦$(2\theta -\frac{\pi }{2})$

$(\text{iv})$点Aを通るCの接線のうち、直線$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$と異なる接線の傾き
を$k_0$とする。このとき、$(\text{ii})$または$(\text{iii})$の考え方を用いることにより
$k_0=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$の解答群
⓪$k>k_0$　①$k\geqq k_0$
②$k<k_0$　③$k\leqq k_0$
④$0<k<k_0$　⑤$0\leqq k\leqq k_0$

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
第5問　$\mathrm{△}ABC$の重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。
直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。
直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。
(1)点Dは線分AGの中点であるとする。
このとき、$\mathrm{△}ABC$の形状に関係なく$\frac{AD}{DE}=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}$
である。また、点Fの位置に関係なく$\frac{BP}{AP}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}\times \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}},$
$\frac{CQ}{AQ}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\times \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}$であるので、常に$\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}～\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$の解答群
⓪BC　①BF　②CF　③EF　④FP　⑤FQ　⑥PQ

(2)$AB=9, BC=8, AC=6$とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。
ここで、4点B,C,Q,Pが同一円周上にあるように点Fをとる。このとき、

$AQ=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}AP$であるから
$AP=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}\mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}, AQ=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}\mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}$であり、
$CF=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}\mathrm{テ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}\mathrm{ナ}}}}$である。

(3)$\mathrm{△}ABC$の形状や点Fの位置に関係なく、常に$\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=10$となるのは
$\frac{AD}{DG}=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}$のときである。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
第2問\ [1]　p,qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
$x^2+px+q=0 \dots \mathrm{①}$
$x^2+qx+p=0 \dots \mathrm{②}$
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。

(1)$p=4,q=-4$のとき、$n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。
また、$p=1,q=-2$のとき、$n=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$である。
(2)$p=-6$のとき、$n=3$になる場合を考える。

花子:例えば、①と②を共に満たす実数xがあるときは$n=3$に
なりそうだね。
太郎:それを$\alpha$としたら、${\alpha }^2-6\alpha +q=0\mathrm{と}{\alpha }^2+q\alpha -6=0$が
成り立つよ。
花子:なるほど。それならば、${\alpha }^2$を消去すれば、$\alpha$の値が求められそうだね。
太郎:確かに$\alpha$の値が求まるけど、実際に$n=3$となっているか
どうかの確認が必要だね。
花子:これ以外にも$n=3$となる場合がありそうだね。

$n=3$となるqの値は
$q=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$
である。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$とする。

$p=-6$に固定したまま、qの値だけを変化させる。
$y=x^2-6x+q \dots \mathrm{③}$
$y=x^2+qx-6 \dots \mathrm{④}$

(1)この二つのグラフについて、$q=1$のときのグラフを点線で、
qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。
このとき、③のグラフの移動の様子を示すと$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$となり、
④のグラフの移動の様子を示すと$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$となる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑦
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
なお、x軸とy軸は省略しているが、x軸は右方向、
y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
(※選択肢は動画参照)

(4)$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}<q<\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、
Uの部分集合A,Bを

$A=\{x|x^2-6x+q<0\}$
$B=\{x|x^2+qx-6<0\}$

とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合を$\overline{X}$と表す。このとき、
次のことが成り立つ。

・$x\in A$は、$x\in B$であるための$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$。
・$x\in B$は、$x\in \overline{A}$であるための$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}, \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪必要条件であるが、十分条件ではない
①十分条件であるが、必要条件ではない
②必要十分条件である
③必要条件でも十分条件でもない

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
共通一次試験
ｍ，ｋ自然数　求めよ
$2+\frac{1}{k+\frac{1}{m+\frac{1}{5}}}=\frac{803}{371}$