問題文全文(内容文)：
第一問

[1]方程式$9x^2-6x-1=0$の二つの実数解をα,β（α＜β）とすると

$α=\displaystyle \frac{ア-\sqrt{イ}}{ウ}$,$β=\displaystyle \frac{ア+\sqrt{イ}}{ウ}$

である。

(1)$n\lt\displaystyle \frac{1}{β}\lt n+1$を満たす整数nは エ である

(2)xについての連立不等式

$\left\{
\begin{array}{l}
αx \lt 1\\
βx \lt 1
\end{array}
\right.$

を考える。
αの符号に注意すると、不等式①の解は　オ　と表される。
よって連立不等式①かつ②の解は　カ　と表される。

オ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x$

カ　の解答群

⓪　$x\lt\displaystyle \frac{1}{α}$　　①　$\displaystyle \frac{1}{α}\lt x\lt\displaystyle \frac{1}{β}$　　②　$\displaystyle \frac{1}{β}\lt x$

(3)-9以上9以下の整数のうち、(2)の連立不等式①かつ②の解の範囲に含まれるものの個数は　キ　個である。

[2]△ABCにおいて、$AB=7$,$BC=3\sqrt{2}$,$CA=5$とする。このとき

$cos ∠BAC=\displaystyle \frac{ク}{ケ}$,$sin ∠BAC=\displaystyle \frac{コ}{サ}$

である。

△ABCの外接円の中心Oとすると、円Oの半径は$\displaystyle \frac{シ\sqrt{ス}}{セ}$である。
円OのAを含まない弧BC上に点Pを、△PBCの面積が最大となるようにとる。このとき

$PC=\sqrt{ソ}$

である。

また、直線AOと円Oとの交点のうち、Aと異なる方をDとすると

$CD= タ $

であり、

$∠ADC= チツ°$

である。

直線AD上に動点Qをとり、二つの線分$CQ$、$PQ$の長さの和を $L = CQ + PQ$ とする。

太郎:Lの最小値を求めるにはどうすればよいのかな。
花子:直線ADに関してCと対称な点を考えればよいね。

$AB^2\gt BC^2+CA^2$が成り立つから∠ACBは鈍角であり、直線ADに関して3 点B, C, Pがすべて同じ側にあることに注意して考えると、Lの最小値は$テ\sqrt{ト}$である。

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを繰り返し投げ、次の規則に従って数直線上の点Pを動かす。
・原点から出発して、1回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
・2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・以下同様に、直前の回で点Pgaとまった位置から出発して、奇数回目の移動では出た目の数だけ点Pを負の方向に動かし、偶数回目の移動では出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
例えば、さいころを4回投げて順に5,5,2,6の目が出た場合、点Pの座標は順に、-5,0,-2,4となる。
(1)2回目の移動後に点Pの座標が0となる確率は(ア)/(イ)、4となる確率は(ウ)/(エオ)、5となる確率は(カ)/(キク)である。
(2)4回目の移動後に点Pの座標が9となるのは、点Pの座標が2回目の移動後に(ケ)となり、4回目の移動後に9となる場合、または点Pの座標が2回目の移動後に(コ)となり、4回目の移動後に9となる場合のいずれかである。ただし、(ケ)と(コ)の順序は問わない。
よって、4回目の移動後に点Pの座標が9となる確率は(サ)/(シスセ)である。
また、4回目の移動後に点Pの座標が9であったとき、3回目の移動後の点Pの座標が4である条件付き確率は(ソ)/(タ)である。
(3)7回目の移動後に点Pの座標が13となる確率は(チ)/(ツ)^(テ)である。

問題文全文(内容文)：
aは実数の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$とする。次の2つの式を考える。
$8a\cos\theta- 8\cos2\theta=a^2+7$…①
$\sin\theta-\cos\theta\gt-1$…②
(1)a=1のとき、方程式①を解け。
(2)不等式②を 解け。
(3)(2)で求めた範囲に①の異なる解がちょうど3個存在するようなaの値の 範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)を次の式で定める。ただし、kは正の定数である。$f(x)=kx^3-4x^2+x+k^2$ 原点をOとする座標平面上において、曲線$C：y=f(x)$とy軸の交点をAとし、Aにお けるCの接線と垂直でAを通る直線をlとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)Cとlが A以外に2点で交わるとする。このとき、kの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、CとlのA以外の2交点をP、Qとし、三角形OPQの面積をSとする。kが(2)で求めた範 囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\theta$の関数。 $f(\theta)=\dfrac{1}{2\sin2\theta}-\sqrt2k\cos(θ-\dfrac{\pi}{4})+k^2$ がある。ただし、kは正の定数である。
(1)$\sin2\theta,\cos(\theta-\dfrac{\pi}{4})$のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)$f(\theta)$を$(\sin\theta-p)(\cos\theta-q)$ (p,qは定数)の形で表せ。 $(ii)k=\dfrac{\sqrt3}{2}$のとき、方程式$f(\theta)=0$を$0\leqq \theta\lt 2\pi$において解け。
(3)$\theta$の方程式$f(\theta)=0$が$0\leqq\theta\lt 2\pi$において相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、$\theta$の方程式$f(\theta)=0$の$0\leqq\theta\lt 2\pi$における最小の解を$\alpha$、最大の解を$\beta$と する。$\alpha+\beta=\dfrac{5\pi}{3}$となるようなkの値を求めよ。