問題文全文(内容文)：
2021年度共通テスト「数学２B」の解説動画です。

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{\boxed{問題A}　関数y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)$の最大値を求めよ。}$

$\sin\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2},$　$\cos\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\displaystyle \frac{1}{2}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{\ \ イ\ \ }\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}\right)$

と変形できる。よって、$y$は$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$で最大値$\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ $をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{\boxed{問題B}　関数y=\sin\theta+p\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)の最大値を求めよ。}$

$(\textrm{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$で最大値$\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ $をとる。
$(\textrm{ii})$　$p \gt 0$のときは、加法定理
$\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha$$+\sin\theta\sin\alpha$
を用いると
$y=\sin\theta+p\cos\theta$$=\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}\cos(\theta-\alpha)$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}$、$\cos\alpha=\frac{\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}$、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta=\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$で最大値
$\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}}$をとる。

$(\textrm{iii})$　$p \lt 0$のとき、$y$は$\theta=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$で最大値$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$をとる。

$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p)^2$
ⓑ$(1+p)^2$


$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②$\displaystyle \frac{\pi}{2}$


[2]二つの関数$f(x)=\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}$、$g(x)=\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{\ \ セ\ \ }、g(0)=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{\ \ タ\ \ }$で最小値$\ \boxed{\ \ チ\ \ }$ をとる。
$g(x)=-2$ となる$x$の値は$\log_2\left(\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}-\boxed{\ \ テ\ \ }\right)$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$　$\cdots$②
$\left\{f(x)\right\}^2-\left\{g(x)\right\}^2=\boxed{\ \ ニ\ \ }$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{\ \ ヌ\ \ }\ f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta)$　$\cdots(\textrm{A})$
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)$　$\cdots(\textrm{B})$
$g(\alpha-\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)$　$\cdots(\textrm{C})$
$g(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta)$　$\cdots(\textrm{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)のうち、
$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$の解答群
⓪$(\textrm{A})$
①$(\textrm{B})$
②$(\textrm{C})$
③$(\textrm{D})$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学2B 第1問解説していきます.

問題文全文(内容文)：
第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\angle$PAB=$\angle$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$　　...①
$\boxed{\boxed{\ \ オ\ \ }}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta}$　④$\frac{1}{\cos \theta}$　⑤$\frac{1}{\tan \theta}$　
⑥$\sin\angle$BPC　⑦$\cos\angle$BPC　⑧$\tan\angle$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\angle$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{\ \ キ\ \ }\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{\ \ キ\ \ }\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$から$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立つ。逆に、$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}・\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin\theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos\theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos\theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin\theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin\theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos\theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos\theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}・\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$であることと同値である。
$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt 2|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle$PABと$\triangle$PACがともに正三角形
①$\triangle$PABと$\triangle$PACがそれぞれ$\angle$PBA=90°, $\angle$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\triangle$PABと$\triangle$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\triangle$PABと$\triangle$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問