問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)2次不等式$x^2+5x-6\lt 0$を解け。
(2)9人の生徒を3人ずつA,B,Cの3つの組に分けるとき、分け方は何通りか。
(3)次のデータがある。3,5,5,6,7,10.このデータの平均値を求めよ。また、分散を求めよ。
(4)$(4x+1)^5$を展開したとき、$x^2$の係数を求めよ。
(5)xの整式$x^3-3x^2+ax-a$ (aは定数)がx-2で割り切れるとき、aの値を求めよ。
(6)$a\neq 0,b\neq 0$とする。 $(ab)^5\times (a^2)^{-3}\div (b^2)^2$を計算せよ。
(7)整数m,nについて、$m+n$が偶数であることは、mnが偶数であるための$\Box$である。
(選択肢)
①必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件ではない
③十分条件であるが、必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない

大問2[1]：式と証明
次のような問題がある。
問1 すべての実数xに対して、不等式 $x^2+x+1\geqq 3x-2 …$(＊)が成り立つことを証明せよ。
問2 $x\geqq 2$のとき、関数$ f(x)=\dfrac{x+2}{x}$ の最小値を求めよ。
太郎さんはこの問題の解答を次のように書いた。
問1 $(x^2+x+1)-(3x-2)=x^2-2x+3=(a-1)^2+2$ すべての実数xに対して、$(x-1)^2\geqq 0$であるから、$(a-1)^2+2\geqq 0$ よって、$x^2+x+1\geqq 3x-2$ は成り立つ。
問2 $x\geqq 2$のとき、$x\gt 0,\dfrac{2}{x}\gt 0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、$\dfrac{x+2}{x}\geqq 2\sqrt x\times \dfrac{2}{x}$ これより、$f(x)\geqq 2\sqrt2$ よって、f(x)の最小値は$2\sqrt2$である。
(1)太郎さんの問1の解答は正しいか、正しくないか答えよ(答えのみでよい)。また、xが実数のとき、問1の不等式(＊)において、等号が成り立つか成り立たないか答えよ。さらに、その理由を「実数」「実数解」のいずれかの単語を用いて説明せよ。

大問2[2]：確率
1～4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚のカードが入っている袋がある。この袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、カードに書かれた数を記録して袋に戻すことを繰り返し4回行う。
(1)4回とも1が記録される確率を求めよ。
(2)4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ。
(3)記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
aは実数の定数とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(-1,4)と円C:$x^2+y^2-2(a+1)x-4ay+5a^2+2a=0$があり、Cの中心をPとする。
(1)線分ABの長さと、直線ABの方程式を求めよ。
(2)$a=1$のとき、Pの座標を求めよ。また、このときのPと直線ABの距離を求めよ。
(3)aが実数全体を変化するとき、Pの軌跡を求めよ。
(4)aの値が$1\leqq a\leqq 3$の範囲を変化するとき、Cが通過する領域をDとする。点QがDを動くとき、三角形ABQの面積の最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
座標平面上に2点A(8,0)、B(0,8)と、原点を中心とする半径3の円がある。この円上に、x座標、y座標がともに正である点P($3\cos\theta,3\sin\theta)\left(0\lt\theta\lt \dfrac{\pi}{2}\right)$をとる。Pからx軸に下した垂線とx軸の交点をQ、Pからy軸に下した垂線とy軸の交点をRとし、△APQと△BPRの面積の和をSとする。
(1)線分AB、BRの長さをそれぞれ$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(2)Sを$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)$t=\sin\theta+\cos\theta$とする。$\theta$が$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。
(4)(i)θが$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。
(ii)Sが最大となる$\theta$は2つあり、それらを$\theta_1,\theta_2\left(0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$とする。このとき、$\dfrac{\pi}{8}\lt \theta_1\lt\dfrac{\pi}{6}$であることを証明せよ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax+8a$ がある。ただし、aは実数の定数である。
(1)a=2とする。
(i)f(x)の増減を調べて、f(x)の極大値と極小値を求めよ。
(ii)xの方程式$f(x)=0$の解で、$1\lt x\lt2$を満たすものの個数を求めよ。
(2)f(x)が$1\lt x\lt 2$において極値をもたないようなaの値の範囲を求めよ。
(3)xの方程式$f(x)=0$が$1\lt x\lt 2$の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

大問6：ベクトル
Oを原点とする座標空間に、3点A(1,2,2)、B(3,-4,0)、C(a,b,5)があり、$OA⊥OC$かつ$OB⊥OC$が成り立っている。
(1)$\vert OA\vert$、$\vert OB\vert$、内積$OA・OB、\cos\angle AOB$の値をそれぞれ求めよ。
(2)a,bの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)Oを中心とする半径rの球面Sがある。Sが3点A,B,Cを通る平面と交わってできる円の半径が2であるとき、rの値を求めよ。

大問7：数列
数列{$a_n$}$(n=1,2,3,…)$を$a_1=7, a_{n+1}=a_n+4(n=1,2,3,…)$によって定める。
(1)$a_4$の値を求めよ。また、数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}$(n=1,2,3,…)$を$b_1=3, b_{n+1}-b_n=a_n(n=1,2,3,…)$によって定める。数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。
(4)数列{$c_n$}$(n=1,2,3,…)$を(3)の$b_n$を用いて、$c_1=\dfrac{1}{5}, c_{n+1}=b_n\times \dfrac{c_n}{(b_{n+1}-3)}(n=1,2,3,…)$によって定める。数列${c_n}$の一般項$c_n$を求めよ。また、$\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2020年度第4回K塾記述高2模試全問解説してみた.

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)mを実数の定数とする。xの2次方程式 $x^2-mx+2=0$ …(*)がある。
(i)(*)が異なる2つの実数解をもつようなmの値の範囲を求めよ。
(ii)(*)が0より大きく3より小さい異なる2つの解をもつようなmの値の範囲を求 めよ。
(2)円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=1,BC=3,CD=DA,\cos\angle ABC=-\dfrac{1}{3}$ である。
(i)線分ACの長さを求めよ。
(ii)辺CDの長さを求めよ。
(iii)四角形ABCDの面積を求めよ。
(3)$(2x-y)^7$の展開式における$x^2y^5$の係数を求めよ。
(4)不等式$\log_3(3-2x)+\log_{\rac{1}{3}(x+1)\leqq 1$を解け。
(5)等式$f(x)=x^2+\diplaystyle \int_{0\to 1}xf(t)dt$ を満たす関数f(x)を求めよ。

大問2：微積分
aを$0＜a＜1$を満たす実数とし、xy平面上に 直線$l:y=-x+2a$, 放物線$C:y=x^2-2ax$ がある。
(1)lとCの交点の座標をすべて求めよ。
(2)lのy≧0の部分とCで囲まれる図形の面積をS₁、lとy≦0の部分とC、および直線 x=2で囲まれる図形の面積をS₂とする。
(i)S₁をaを用いて表せ。
(ii)aが$0＜a＜1$の範囲を動くとき、$S_1+S_2$を最小にするaの値を求めよ。

大問3：確率
赤、白、青のカードがそれぞれ1枚ずつ箱の中に入っている。この箱の中から無 作為に1枚のカードを取り出し、カードの色を紙に記録し、取り出したカードを 箱の中に戻す。これを1回の操作とし、この操作を繰り返す。ただし、同じ色が2 回連続して紙に記録されたときは、それまでの操作によって紙に記録されたもの をすべて消し、次の操作から再び記録し直すこととする。赤、白、青の3色すべ てが紙に記録されたら操作を終了する。また、終了するまでの操作回数をXとする。
例えば、取り出したカードの色が順に赤、白、赤、白、青のとき、最終的に紙に は【赤、白、赤、白、青】と色が記録され、X=5である。 取り出したカードが順に青、赤、赤、赤、白、青のとき、最終的に紙には【赤、 白、青】と色が記録され、X=6である。
(1)X=3,X=4となる確率をそれぞれ求めよ。
(2)X=5となる確率を求めよ。
(3)X=7となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
整数x,yの方程式 $7x-3y=1$ …(*)がある。
(1)(*)の解の組(x,y)を1組求めよ。
(2)(*)の解の組(x,y)をすべて求めよ。
(3)(*)の解の組(x,y)のうち、xyが10の倍数、かつ$1\leqq x\leqq 2020$を満たすものは何組 あるか。

大問5：図形と方程式
xy平面上に 円$Ca:x^2+y^2-4ax-2(a+3)y+5a^2+6a+4=0$がある。ただし、aは実数とする。
(1)Caの中心の座標と半径を求めよ。
(2)aがすべての字数値をとって変化するとき、Caの中心の軌跡を求めよ。
(3)aがa≧1の範囲を動くときのCaの通過する領域をDとし、定点(s,0)とD上の点 (x,y)の距離をLとする。点(x,y)がD上を動くとき、Lの最小値をsを用いて表せ。

大問6：ベクトル
Oを原点とするxyz空間に、2点A(2,0,0)、B(-1,1,1)と 球面$S:x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+11=0$ があり、Sの中心をCとする。
(1)Cの座標を求めよ。また、Sの半径を求めよ。
(2)s,tを実数とし、$OH=sOA+tOB$とおく。CHが平面OABと垂直になるようなs,tの値 を求めよ。 (3)S上に点Pをとり、四面体OABPを作る。PがS上を動くとき、四面体OABPの体積 の最大値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)12/(3-√5)の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)b²+10bの値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数f(x)=2x²-6x+aの0≦x≦1における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、AB=3、BC=4、CA=2である。cos∠BACの値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式x³-x²-x-2=0を解け。
(5)円x²+y²=4上の点(1, √3)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式4^x-5・2-(x+1)+24=0を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、OA=√3-1、OB=√2、∠AOB=3π/4が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。∠AOD=θ(0＜θ＜3π/4)とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積をθを用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積をsinθ、cosθを用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与えるθの値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、N=12とし、123と並べたときは3桁の数で、N=123とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数f(x)=x³+ax²+bx+a²はx=-1で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)y=f(x)のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順にα、β、γとする。
(i)α＞-3を示せ。
(ii)P(3,0)、B(β,0)、C(γ,0)とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列{a[n]}{b[n]}がa[1]=3/2、a[n+1]=3/2a[n]-1/2 (n=1,2,3,...) b[1]=p、b[n+1]=b[n]+p-1/2(3/2)^(n-1) (n=1,2,3,...) を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)a[n]をnの式で表せ。
(2)b[n]をpとnの式で表せ。
(3)c[n]=b[n]-a[n]とする。c[n]がn=4で最大となるようなpの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1(小問集合)
(1)$\dfrac{12}{3-\sqrt5}$の整数部分をa、小数部分をbとする。(i)aの値を求めよ。(ii)$b^2+10b$の値を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。関数$f(x)=2x^2-6x+a$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値が3となるようなaの値を求めよ。
(3)三角形ABCにおいて、$AB=3、BC=4、CA=2$である。$\cos\angle BAC$の値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(4)方程式$x^3-x^2-x-2=0$を解け。
(5)円$x^2+y^2=4$上の点($1, \sqrt3$)における接線の方程式を求めよ。
(6)方程式$4^x-5・2-(x+1)+24=0$を解け。
大問2(三角関数)
三角形OABにおいて、$OA=\sqrt3-1、OB=\sqrt2、\angle AOB=\dfrac{3\pi}{4}$が成り立っている。辺AB上(両端を含まない)に点Cをとり、直線OC上に点Dを、3点O、C、Dがこの順に並び、OD=2となるようにとる。$∠AOD=\theta\left(0\lt\theta\lt \dfrac{3\pi}{4}\right)$とおくとき、次の問に答えよ。
(1)三角形OADの面積を$\theta$を用いて表せ。
(2)三角形OBDの面積を$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)Cが辺AB上を動くとき、四角形OADBの面積の最大値、および、最大値を与える$\theta$の値を求めよ。
大問3(場合の数)
0から7までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ、合計8枚のカードがある。この8枚のカードから3枚を選んで左から1列に並べ、2桁、もしくは3桁の整数Nを作る。例えば、012と並べたときは2桁の数で、$N=12$とし、123と並べたときは3桁の数で、$N=123$とする。
(1)2桁のN、3桁のNはそれぞれ何通りできるか。
(2)2桁のNのうち、十の位の数と一の位の数の和が7とならないものは何通りできるか。
(3)百の位が7のとき、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
(4)3桁のNのうち、どの2つの位の数の和も7とならないものは何通りできるか。
大問4(微分法)
【問題文】
a、bを実数の定数とする。関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$は$x=-1$で極大値14をとるとする。
(1)a、bの値を求めよ。
(2)$y=f(x)$のグラフとx軸は異なる3点で交わり、そのx座標を小さい方から順に$\alpha,\beta,γ$とする。
(i)$\alpha\gt -3$を示せ。
(ii)$P(3,0)、B(\beta,0)、C(γ,0)$とする。線分PBとPCの長さの大小を比較せよ。
大問5(数列)
【問題文】
2つの数列${a_n}{b_n}$が$a_1=\dfrac{3}{2}、a_{n+1}=\dfrac{3}{2a_n-\dfrac{1}{2}} (n=1,2,3,...)$$ b_1=p、b_{n+1}=b_n+p-\dfrac{1}{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}} (n=1,2,3,...)$ を満たしている。ただし、pは整数とする。
(1)$a_n$をnの式で表せ。
(2)$b_n$をpとnの式で表せ。
(3)$c_n=b_n-a_n$とする。$c_n$が$n=4$で最大となるようなpの値を求めよ。