問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) $(x+2)(2x^2-4x+1)$を展開せよ。
(2) $a^2+3ab-6b-4$を因数分解せよ。
(3) $\dfrac{1}{\sqrt5+1} + \dfrac{1}{\sqrt5+3}$ を計算せよ。
(4) $90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$において、$\sin\theta=\dfrac14$のとき、$\cos\theta$の値を求めよ。
(5) 不等式 $\dfrac{x+2}{4} \geqq \dfrac{3x-5}2$を解け。
(6) 次のデータがある。 $2,3,4,4,5,6,7,9$
このデータの中央値と第3四分位数を求めよ。
(7) 円と2本の直線が図のように交わっているとき、$x$の値を求めよ。

大問2-1：図形と計量
三角形$\rm ABC$があり、$\rm AB=1, BC=\sqrt7, \cos\angle ABC=\dfrac{5}{2\sqrt7}$ である。
(1) 辺$\rm CA$の長さを求めよ。
(2) $\cos\angle \rm BAC$の値を求めよ。また、三角形$\rm ABC$の面積を求めよ。
(3) $\rm \angle BAC$を5等分する4本の直線が辺$\rm BC$と交わる4個の点のうち、頂点$\rm B$に最も近い点を$\rm D$とする。線分$\rm AD$の長さを求めよ

大問2-2：場合の数
$\rm A,A,B,C,D,E$の6個の文字を横1列に並べる。
(1) 並べ方は全部で何通りあるか。
(2) $\rm A$が左端にないような並べ方は何通りあるか。
(3) $\rm A$が左端になく、かつEが右端にないような並べ方は何通りあるか。

大問3：2次関数
$a, k$を実数とする。2つの関数
$f(x)=x^2+(2-2a)x-6a+3$
$g(x)=2x^2-2ax-\dfrac{a^2}{2}+2a+k$
に対して、$f(x)$の最小値を$M$, $g(x)$の最小値を$m$とする。
(1) $a=0$のときの$M$の値を求めよ。
(2) $m$を$a, k$を用いて表せ。
(3) $M$と$m$の小さくない方を$a$の関数とみなし、$h(a)$とする。すなわち、
$M\geqq m$のとき、$h(a)=M$
$M\leqq m$のとき、$h(a)=m$
(i) $k=-1$のとき, $h(a)=-\dfrac14$となるような$a$の値を求めよ。
(ii) $h(a)$が次の(条件)を満たすような$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
(条件) 異なる3個以上の$a$の値に対して $h(a)$ が同じ値をとることがある。


大問4：複素数と方程式
$x$の2次方程式 $x^2-x+2=0$ がある。
(1) (*)を解け。
(2) 3次式 $x^3+2x^2+7$ を2次式 $x^2-x+2$ で割ったときの商と余りを求めよ。
(3) (*)の2つの解を$\alpha ,\beta$とする。
(i) $(\alpha+1)(\beta+1)$ の値と $\alpha^3+\beta^3$ の値を求めよ。
(ii) $a, b$を実数の定数とする、$x$の2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の2つの解が
$(\alpha+1)^3(\beta+1)^3$ となるような$a,b$の値の組 $(a, b)$を求めよ。
(4) $p$を(*)の解とし、
$A=(p^3+2p-2+7)^6+9(p^3+2p^2+7)^3+81$ とする、$A$の値を求めよ。

大問5：確率
4個のサイコロ$A,B,C,D$がある。
(1) $A,B$の2個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b$とするとき, $ab=30$となる確率を求めよ。
(2) $A,B,C$の3個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c$とする。
(i) $abc=30$となる確率と,$abc=180$となる確率をそれぞれ求めよ。
(ii) $abc$が30の倍数となる確率を求めよ。
(3) $A,B,C,D$の4個のサイコロを1回振り、出た目をそれぞれ$a,b,c,d$とする。
(i) $a,b,c,d$の中に、5と6がともに含まれる確率を求めよ。
(ii) $abcd$が30の倍数となる確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1)AB=15, AC=7, ∠BAC=60°の△ABCがある。辺BCの長さと△ABCの内接円の半径を求めよ。
(2)aを実数の定数とする。xの2次方程式x2-ax-a-9=0が-2より小さい解と3より大きい解をもつようなの値の範囲を求めよ。
(3)方程式x3+3x2+2x-6=0を複素数の範囲で解け。
(4)座標平面上の直線y=x上の点で、直線x+2y-4=0までの距離が√5である点の座標をすべて求めよ。
(5)方程式4^(x+1)+7・2^x-2=0を解け。
(6)不等式log₂x+1≧log₂(2-x)を解け。

大問2:三角関数
aを正の定数とし、関数f(θ)をf(θ)=2sin²θ+2√3sinθcosθ+a(√3sinθ+cosθ)-6a²+1とする。
(1)√3sinθ+cosθをrsin(θ+α)の形に表せ。ただし、r＞0,-π＜α≦πとする。
(2)t=√3sinθ+cosθとおくとき、f(θ)をtの2次式で表せ。
(3)方程式f(θ)=0(0≦θ≦π)…(*)について考える。
(i)a=1のとき、(*)を解け。
(ii)(*)の異なる解の個数がちょうど2個となるようなaの値の範囲を求めよ。

大問3:場合の数
A,B,Cの3人を含む9人の生徒について考える。
(1)4人と5人の2つの組に分けるとき、分け方は何通りあるか。
(2)3人ずつ3つの組に分けるとき、
(i)分け方は全部で何通りあるか。
(ii)AとBが同じ組に入る分け方は何通りあるか。
(3)「9人を3人ずつ3つの班に分けて、それぞれの班で1人ずつ班長を選ぶこと」を班決めということにする。その際、AとBが同じ班に入るときAは班長になることができず、BとCが同じ班に入るときBは班長になることができないものとする。
(i)AとBが同じ班に入り、Cは別の班に入る班決めの仕方は何通りあるか。
(ii)班決めの仕方は全部で何通りあるか。

大問4:微分法
t＞0とする。f(x)=x⁴-6x²とし、曲線C:y=f(x)上の点P(t,f(t))におけるCの接線をlとする。
(1)t=1のときのlの方程式を求めよ。また、このときlとCのP以外の共有点の座標を求めよ。
(2)lとCがP以外に異なる2つの共有点をもつようなtの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、lとCのP以外の2つの共有点をQ(α,f(α)), R(β,f(β))(a＜β)とし、3点P, Q, RにおけるCの接線の傾きをそれぞれmP、mQ、mRとする。このとき、mP+mQ+mRのとり得る値の範囲を求めよ。

大問5:数列
数列{a[n]}(n=1,2,3,…)は公差が正の等差数列でa₁+a₂+a₃=-3. a₁a₃=-3を満たし、数列{b[n]}は
b₁=-1, b[n+1]=│b[n]│+a[n] (n=1,2,3,…)を満たしている。
(1)数列{a[n])の一般項を求めよ。
(2)b₂、b₃を求めよ。また、b≧0となるようなnの値の範囲を求めよ。
(3)n≧4のとき、数列{b[n]}の一般項を求めよ。
(4)n≧4のとき、∑[k=1～n]b[k]を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)2次不等式$x^2+5x-6\lt 0$を解け。
(2)9人の生徒を3人ずつA,B,Cの3つの組に分けるとき、分け方は何通りか。
(3)次のデータがある。3,5,5,6,7,10.このデータの平均値を求めよ。また、分散を求めよ。
(4)$(4x+1)^5$を展開したとき、$x^2$の係数を求めよ。
(5)xの整式$x^3-3x^2+ax-a$ (aは定数)がx-2で割り切れるとき、aの値を求めよ。
(6)$a\neq 0,b\neq 0$とする。 $(ab)^5\times (a^2)^{-3}\div (b^2)^2$を計算せよ。
(7)整数m,nについて、$m+n$が偶数であることは、mnが偶数であるための$\Box$である。
(選択肢)
①必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件ではない
③十分条件であるが、必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない

大問2[1]：式と証明
次のような問題がある。
問1 すべての実数xに対して、不等式 $x^2+x+1\geqq 3x-2 …$(＊)が成り立つことを証明せよ。
問2 $x\geqq 2$のとき、関数$ f(x)=\dfrac{x+2}{x}$ の最小値を求めよ。
太郎さんはこの問題の解答を次のように書いた。
問1 $(x^2+x+1)-(3x-2)=x^2-2x+3=(a-1)^2+2$ すべての実数xに対して、$(x-1)^2\geqq 0$であるから、$(a-1)^2+2\geqq 0$ よって、$x^2+x+1\geqq 3x-2$ は成り立つ。
問2 $x\geqq 2$のとき、$x\gt 0,\dfrac{2}{x}\gt 0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、$\dfrac{x+2}{x}\geqq 2\sqrt x\times \dfrac{2}{x}$ これより、$f(x)\geqq 2\sqrt2$ よって、f(x)の最小値は$2\sqrt2$である。
(1)太郎さんの問1の解答は正しいか、正しくないか答えよ(答えのみでよい)。また、xが実数のとき、問1の不等式(＊)において、等号が成り立つか成り立たないか答えよ。さらに、その理由を「実数」「実数解」のいずれかの単語を用いて説明せよ。

大問2[2]：確率
1～4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚のカードが入っている袋がある。この袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、カードに書かれた数を記録して袋に戻すことを繰り返し4回行う。
(1)4回とも1が記録される確率を求めよ。
(2)4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ。
(3)記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
aは実数の定数とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(-1,4)と円C:$x^2+y^2-2(a+1)x-4ay+5a^2+2a=0$があり、Cの中心をPとする。
(1)線分ABの長さと、直線ABの方程式を求めよ。
(2)$a=1$のとき、Pの座標を求めよ。また、このときのPと直線ABの距離を求めよ。
(3)aが実数全体を変化するとき、Pの軌跡を求めよ。
(4)aの値が$1\leqq a\leqq 3$の範囲を変化するとき、Cが通過する領域をDとする。点QがDを動くとき、三角形ABQの面積の最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
座標平面上に2点A(8,0)、B(0,8)と、原点を中心とする半径3の円がある。この円上に、x座標、y座標がともに正である点P($3\cos\theta,3\sin\theta)\left(0\lt\theta\lt \dfrac{\pi}{2}\right)$をとる。Pからx軸に下した垂線とx軸の交点をQ、Pからy軸に下した垂線とy軸の交点をRとし、△APQと△BPRの面積の和をSとする。
(1)線分AB、BRの長さをそれぞれ$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(2)Sを$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)$t=\sin\theta+\cos\theta$とする。$\theta$が$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。
(4)(i)θが$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。
(ii)Sが最大となる$\theta$は2つあり、それらを$\theta_1,\theta_2\left(0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$とする。このとき、$\dfrac{\pi}{8}\lt \theta_1\lt\dfrac{\pi}{6}$であることを証明せよ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax+8a$ がある。ただし、aは実数の定数である。
(1)a=2とする。
(i)f(x)の増減を調べて、f(x)の極大値と極小値を求めよ。
(ii)xの方程式$f(x)=0$の解で、$1\lt x\lt2$を満たすものの個数を求めよ。
(2)f(x)が$1\lt x\lt 2$において極値をもたないようなaの値の範囲を求めよ。
(3)xの方程式$f(x)=0$が$1\lt x\lt 2$の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

大問6：ベクトル
Oを原点とする座標空間に、3点A(1,2,2)、B(3,-4,0)、C(a,b,5)があり、$OA⊥OC$かつ$OB⊥OC$が成り立っている。
(1)$\vert OA\vert$、$\vert OB\vert$、内積$OA・OB、\cos\angle AOB$の値をそれぞれ求めよ。
(2)a,bの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)Oを中心とする半径rの球面Sがある。Sが3点A,B,Cを通る平面と交わってできる円の半径が2であるとき、rの値を求めよ。

大問7：数列
数列{$a_n$}$(n=1,2,3,…)$を$a_1=7, a_{n+1}=a_n+4(n=1,2,3,…)$によって定める。
(1)$a_4$の値を求めよ。また、数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}$(n=1,2,3,…)$を$b_1=3, b_{n+1}-b_n=a_n(n=1,2,3,…)$によって定める。数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。
(4)数列{$c_n$}$(n=1,2,3,…)$を(3)の$b_n$を用いて、$c_1=\dfrac{1}{5}, c_{n+1}=b_n\times \dfrac{c_n}{(b_{n+1}-3)}(n=1,2,3,…)$によって定める。数列${c_n}$の一般項$c_n$を求めよ。また、$\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式$2x^2-3x+1＜0$を解け。
(2)$(3x+y)^4$を展開したときの$x^2y^2$の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線$l_1:3x-y+5=0,l_2:mx+2y+4=0$が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式$4^x=2\sqrt{2}$を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条件でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式$P(x)=x^3+(2a-1)x^2-(a^2+2a-2)x+b$があり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、$\displaystyle\frac{y-a}{x-2}$の最大値をM(a)とする。M($\frac{1}{2}$)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=$\frac{π}{2}$,∠AOB=θ(0＜θ＜$\frac{π}{4}$)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) $BP^2$をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜$\frac{π}{4}$の範囲を変化するとき、$BP^2$のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=x^3+kx^2-kx+k^2$がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列{$a_n$}を$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}},a_2=\sqrt{2},a_{n+2}a_{n+1}-a_{n+1}a_{n}=n+1(n=1,2,3,...)$により定める。また、数列{$b_n$}を$b_n=a_{n+1}a_{n}(n=1,2,3,･･･)$により定める。
(1)$b_1$を求めよ。また、$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ。
(2)数列{$b_n$}の一般項を求めよ。
(3)$c_n=\displaystyle\frac{\sqrt{2}a_n}{n}(n=1,2,3,…)$とおく。$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ。また、数列{$c_n$}の一般項を求めよ。
(4)$a_n＞50$を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、$\displaystyle \sum_{k=1}^N\frac{2k+1}{{a_{n+1}}^2{a_n}²}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
△ABCにおいて、$AB=3,AC=6,\angle BAC=90°$であるとき、$BC=(ア)\sqrt{(イ)}$である。Aを中心とし、Bを通る円をKとし、円Kと直線ACの交点のうち辺AC上にある方をD、もう一方をEとする。また、円Kと直線BCの交点でBと異なるものをFとする。このとき、CE=(ウ)であり、方べきの定理を用いると、$CF=\dfrac{(エ)\sqrt{(オ)}}{(カ)}$とわかるから$\dfrac{BF}{FC}=\dfrac{(キ)}{(ク)}$である。さらに、直線EFと辺ABの交点をP、直線EFと線分BCの交点をQとすると、$\dfrac{BQ}{QD}=(ケ)$であり、△BFQの面積は$\dfrac{(コ)}{(サシ)}$である。また、△CPQの面積は$\dfrac{(ス)}{(セ)}$である。