全統模試(河合塾)

【数A】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問4_整数の性質

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)

z = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

について、

2^{z}

を7で割ったときの余りを順に書き並べよ。ただし、

2^{0} = 1

とする。
(ii)x,zは等式

7 x = 2^{z} + 3

・・・① を満たしている。

0 ≦ z ≦ 10

のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式

(4 x + 3 y) (x - y) = 2^{z}

・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、

z = 5

のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、

0 ≦ z ≦ 20

のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数を求めよ。
(iii)

z = 100

で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数を求めよ。

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【数A】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問3_確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはすべて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはすべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

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【数Ⅰ】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問2-2_図形と計量

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、

A B = 7 、 B C = 8 、 C A = 3

とする。
(1)

\cos ∠ B A C

の値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、

\sin ∠ B C P : \sin ∠ C B P = 1 : 3

となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

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【数Ⅰ】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問2-1_2次関数

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
実数xについての2つの不等式

a x^{2} + 2 a x - 2 a + 1 ≦ 0

・・・①

| x - 2 | ≦ 1

・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)

a = - 1

のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

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【数学】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問1_小問集合

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
(1)

(a + 3)^{3}

を展開せよ。
(2)

\frac{x - 3}{x ² + x} + \frac{x + 9}{x^{2} + 3 x}

を計算せよ。
(3)2次関数

y = x^{2} + 2 x (- 2 ≦ x ≦ 2)

における最大値をM、最小値をmとして、

M - m

を求めよ。
(4)iを虚数単位とする。

\frac{7 + 3 i}{1 + i}

を

a + b i

(a,bは実数の形で表せ。 )
(5)

0 ° ≦ θ < 180 ° 、 \sin θ + \cos θ = \frac{1}{2}

のとき、

\sin θ ・ \cos θ

と

\cos θ - \sin θ

を求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいならば、分け方は何通りか。また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

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【数Ⅱ】微分法と積分法：2021年高3第1回数台全国模試 (文理共通)

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
aを実数とし、xの4次関数f(x)を

f (x) = 3 x^{4} - 4 (a + 2) x^{3} + 12 a x^{2} + 1

とする。次の問に答えよ。
(1)f(x)が極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲をaが動くとき、曲線y=f(x)において、f(x)が極大となる点の軌跡を求めよ。

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【数C】ベクトル：2021年高3第1回K塾記述模試

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
四角形OABCは、OB+3BC＝2ABを満たしている。また、辺OAを2:1に内分する点を Dとし、a=OA、c=OCとする。
(1)OBをa,cを用いて表せ。
(2)2直線OB,CDの交点をP とする。OPｗｐa,cを用いて表せ。また、CP:PDを求めよ。
(3)OA=3、OB=√15,OC=4 とする。(i)内積a・cの値を求めよ。(ii)四角形OABCに、CとDが重なるように折り目を付け、再び広げて四角形に戻す。折り目の直線lと直線OCの公転をNとするとき、ON:NCを求めよ。また、3直線OB,OC,lで囲まれてできる三角形の面積を求めよ。

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【数Ⅲ】極限：2021年高3第1回K塾記述模試

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
初項

2 p^{2}

、公比pの等比数列{

a_{n}

}がある。ただし、pは実数の定数とする。無限等比級数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

が収束し、その和が1であるとき、次の問に答えよ。
(1)p の値を求めよ。
(2)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の体積を

V_{n}

とする。無限級数

\sum_{n = 1}^{\infty} V_{n}

は収束するか。収束するときはその和を求め、発散するときはそのことを示せ。
(3)母線の長さが1、高さが

a_{n}

の円錐の側面積を

T_{n}

とする。無限級数

\sum_{n = 1}^{\infty} T_{n}

は収束するか。収束するときはその和を求め、発散するときはそのことを示せ。

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【数Ⅱ】微分法と積分法：2021年高3第1回K塾記述模試

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数f(x)を次の式で定める。ただし、kは正の定数である。

f (x) = k x^{3} - 4 x^{2} + x + k^{2}

原点をOとする座標平面上において、曲線

C ： y = f (x)

とy軸の交点をAとし、AにおけるCの接線と垂直でAを通る直線をlとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)Cとlが A以外に2点で交わるとする。このとき、kの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、CとlのA以外の2交点をP、Qとし、三角形OPQの面積をSとする。kが(2)で求めた範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。

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【数Ⅱ】三角関数：2021年高3第1回K塾記述模試

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
aは実数の定数とし、

0 ≦ θ < 2 π

とする。次の2つの式を考える。

8 a \cos θ - 8 \cos 2 θ = a^{2} + 7

…①

\sin θ - \cos θ > - 1

…②
(1)a=1のとき、方程式①を解け。
(2)不等式②を解け。
(3)(2)で求めた範囲に①の異なる解がちょうど3個存在するようなaの値の範囲を求めよ。

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【数A】場合の数：2021年高3第1回K塾記述模試

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
白玉6個、赤玉2個、青玉2個の計10個の玉を横一列に並べる。ただし、同じ色の玉は区別しない。
(1)並べ方は全部で何通りあるか。
(2)白赤白赤白と連続して並ぶ箇所があるような並べ方は何通りあるか。
(3)次の、赤玉についての条件A、青玉についての条件Bを考える。
A：「同じ色の玉が両隣にある」
B：「異なる色の玉が両隣にある」
ただし、列の両端の玉は、AもBも満たさないものとする。例えば、白赤白白白青赤青白白は、2個の赤玉はともにAを満たし、2個の青玉もともにBを満たす。また、白赤赤白白青青白白白は、2個の青玉はともにBを満たすが、2個の赤玉はともにAを満たさない。
(i)2個の赤玉がともにAを満たすような並べ方は何通りあるか。
(ii)2個の赤玉がともにAを満たし、かつ、2個の青玉がともにBを満たすような並べ方は何通りあるか。

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【数A】図形の性質：高3 5月K塾共通テスト数学IA第5問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#方べきの定理と２つの円の関係#センター試験・共通テスト関連#全統模試(河合塾)#共通テスト#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
△ABCにおいて、

A B = 3, A C = 6, ∠ B A C = 90 °

であるとき、

B C = (ア) \sqrt{(イ)}

である。Aを中心とし、Bを通る円をKとし、円Kと直線ACの交点のうち辺AC上にある方をD、もう一方をEとする。また、円Kと直線BCの交点でBと異なるものをFとする。このとき、CE=(ウ)であり、方べきの定理を用いると、

C F = \frac{(エ) \sqrt{(オ)}}{(カ)}

とわかるから

\frac{B F}{F C} = \frac{(キ)}{(ク)}

である。さらに、直線EFと辺ABの交点をP、直線EFと線分BCの交点をQとすると、

\frac{B Q}{Q D} = (ケ)

であり、△BFQの面積は

\frac{(コ)}{(サ シ)}

である。また、△CPQの面積は

\frac{(ス)}{(セ)}

である。

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【数A】整数の性質：高3 5月K塾共通テスト数学IA第4問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#センター試験・共通テスト関連#全統模試(河合塾)#共通テスト#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
(1)168を素因数分解すると 168=(ア)^(イ)×3×(ウ) である。
よって、168の正の約数の個数は(エオ)個であり、AB=168かつ3≦A＜Bを満たすA,Bの組は、全部で(カ)個である。
(2)正の整数nは正の約数の個数が6個であり、正の約数の総和が168であるとする。このような正の整数nのうち、異なる２つの素因数を持つものを求めよう。
nは異なる素数p,qを用いて、n=p^(キ)・q と表せる。
このとき、nの正の約数の総和は［ク］であるから、p=(ケ) であり、n=(コサ) である。

［ク］の解答群
0: (p+p²)q
1: (1+p+p²)q
2: (p+p²)(1+q)
3: (1+p+p²)(1+q)
4: (p+p²+p³)q
5: (1+p+p²+p³)q
6: (p+p²+p³)(1+q)
7: (1+p+p²+p³)(1+q)

(3)正の整数mは正の約数の個数が12個であり、正の約数の総和が624であるとする。このような正の整数mのうち、異なる3つの素因数を持つものは m=(シスセ) である。

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【数A】確率：高3 5月K塾共通テスト数学IA第3問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#センター試験・共通テスト関連#全統模試(河合塾)#共通テスト#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを繰り返し投げ、次の規則に従って数直線上の点Pを動かす。
・原点から出発して、1回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
・2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・以下同様に、直前の回で点Pgaとまった位置から出発して、奇数回目の移動では出た目の数だけ点Pを負の方向に動かし、偶数回目の移動では出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
例えば、さいころを4回投げて順に5,5,2,6の目が出た場合、点Pの座標は順に、-5,0,-2,4となる。
(1)2回目の移動後に点Pの座標が0となる確率は(ア)/(イ)、4となる確率は(ウ)/(エオ)、5となる確率は(カ)/(キク)である。
(2)4回目の移動後に点Pの座標が9となるのは、点Pの座標が2回目の移動後に(ケ)となり、4回目の移動後に9となる場合、または点Pの座標が2回目の移動後に(コ)となり、4回目の移動後に9となる場合のいずれかである。ただし、(ケ)と(コ)の順序は問わない。
よって、4回目の移動後に点Pの座標が9となる確率は(サ)/(シスセ)である。
また、4回目の移動後に点Pの座標が9であったとき、3回目の移動後の点Pの座標が4である条件付き確率は(ソ)/(タ)である。
(3)7回目の移動後に点Pの座標が13となる確率は(チ)/(ツ)^(テ)である。

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模試の優先順位：この模試は絶対に受けろ！【篠原好】

単元： #全統模試(河合塾)#全統模試(河合塾)#その他#勉強法#大学入試過去問・共通テスト・模試関連#大学入試過去問・共通テスト・模試関連#【河合塾】全統共通テスト模試#【東進】共テ本番レベル模試

指導講師：篠原好【京大模試全国一位の勉強法】

問題文全文(内容文)：
模試の優先順位
「この模試は絶対に受けなければならない理由」についてお話しています。

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【数C】平面ベクトル：高2K塾共通テスト模試（ベクトル）を解説してみた！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
高2全統共通テスト模試のベクトルの解説です。

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【数C】ベクトル：2020年第2回高2K塾記述模試の第7問を解いてみた！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

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【数B】数列：2019年第2回高2K塾記述模試の第6問を解いてみた！

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列{

a_{n}

}

(n = 1, 2, 3, . . .)

は初項-8、公差4の等差数列であり、数列{

b_{n}

}

(n = 1, 2, 3, . . .)

は初項から第n項までの和がS[n]=3^n/2(n=1,2,3,...)で与えられる数列である。
(1)数列{

a_{n}

}の一般項

a_{n}

を求めよ。また、数列{

a_{n}

}の初項から第n項までの和を求めよ。
(2)

\sum_{k = 1}^{n} (a_{k})^{2}

を求めよ。
(3)数列{

b_{n}

}の一般項

b_{n}

を求めよ。
(4)nを3以上の整数とするとき、

\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} b_{k} |

を求めよ。

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【数A】確率：2019年第2回高2K塾記述模試の第4問を解説！「難しそうだから手を付けませんでした...」と言っていた生徒と状況整理をしながら解いていくと「簡単でしたね！」となりました。

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロを1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。
(規則)
・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。
・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。
・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。
例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy座標が2である条件付き確率を求めよ。

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【2018年5月K塾マーク】全教科概観～数学でとれなかったのは仕方ない？！～全国模試1位の勉強法【篠原好】

単元： #大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)

指導講師：篠原好【京大模試全国一位の勉強法】

問題文全文(内容文)：
数学でとれなかったのは仕方ない？！
「2018年5月全統マーク」についてお話しています。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 全統模試(河合塾)

【数A】高2生必見!!2020年度 第2回 K塾高2模試 大問4_整数の性質

【数A】高2生必見!!2020年度 第2回 K塾高2模試 大問3_確率

【数Ⅰ】高2生必見!!2020年度 第2回 K塾高2模試 大問2-2_図形と計量

【数Ⅰ】高2生必見!!2020年度 第2回 K塾高2模試 大問2-1_2次関数

【数学】高2生必見!!2020年度 第2回 K塾高2模試 大問1_小問集合

【数Ⅱ】微分法と積分法：2021年高3第1回数台全国模試 (文理共通)

【数C】ベクトル：2021年高3第1回K塾記述模試

【数Ⅲ】極限：2021年高3第1回K塾記述模試

【数Ⅱ】 微分法と積分法：2021年高3第1回K塾記述模試

【数Ⅱ】三角関数：2021年高3第1回K塾記述模試

【数A】場合の数：2021年高3第1回K塾記述模試

【数A】図形の性質：高3 5月K塾共通テスト 数学IA第5問

【数A】整数の性質：高3 5月K塾共通テスト 数学IA第4問

【数A】確率：高3 5月K塾共通テスト 数学IA第3問

模試の優先順位：この模試は絶対に受けろ！【篠原好】

【数C】平面ベクトル：高2K塾共通テスト模試（ベクトル）を解説してみた！

【数C】ベクトル：2020年第2回高2K塾記述模試の第7問を解いてみた！

【数B】数列：2019年第2回高2K塾記述模試の第6問を解いてみた！

【数A】確率：2019年第2回高2K塾記述模試の第4問を解説！「難しそうだから手を付けませんでした...」と言っていた生徒と状況整理をしながら解いていくと「簡単でしたね！」となりました。

【2018年5月K塾マーク】全教科概観～数学でとれなかったのは仕方ない？！～全国模試1位の勉強法【篠原好】

【数A】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問4_整数の性質

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【数学】高2生必見!!2020年度第2回 K塾高2模試大問1_小問集合

【数Ⅱ】微分法と積分法：2021年高3第1回K塾記述模試

【数A】図形の性質：高3 5月K塾共通テスト数学IA第5問

【数A】整数の性質：高3 5月K塾共通テスト数学IA第4問

【数A】確率：高3 5月K塾共通テスト数学IA第3問