問題文全文(内容文)：
この動画を見て共通テストの確率問題を攻略しよう！

問題文全文(内容文)：
第3問\ 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントは
全て異なるとする。
プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順:外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、
各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の
プレゼントを受け取る。

交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。
そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
(1)2人または3人で交換会を開く場合を考える。
$(\textrm{i})$2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は
$\boxed{ア}$通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
$(\textrm{ii})$3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は
$\boxed{エ}$通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$である。
$(\textrm{iii})$3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{キク}}{\boxed{ケコ}}$である。

(2)4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を
次の構想に基づいて求めてみよう。
構想:1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。
そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は
$\boxed{サ}$通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は$\boxed{シ}$通りある。
このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が
終了しない受け取り方の総数は$\boxed{スセ}$である。
したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}$である。

(3)5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{チツ}}{\boxed{テト}}$である。
\(4)A,B,C,D,Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA,B,C,Dがそれぞれ自分以外
の人の持参したプレゼントを受け取った時、その回で交換会が終了する
条件付き確率は$\frac{\boxed{ナニ}}{\boxed{ヌネ}}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
第1問\ [3]　外接円の半径が3である$\triangle ABC$を考える。点Aから直線BCへ引いた垂線と直線BC
との交点をDとする。

(1)$AB=5,　AC=4$とする。このとき$\sin\angle ABC=\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}},　AD=\frac{\boxed{チツ}}{\boxed{テ}}$　である。

(2)　2辺AB,ACの長さの間に$2AB+AC=14$の関係があるとする。
このとき、ABの長さの取り得る値の範囲は$\boxed{ト} \leqq AB \leqq \boxed{ナ}$であり、
$AD=\frac{\boxed{ニヌ}}{\boxed{ネ}}AB^2+\frac{\boxed{ノ}}{\boxed{ハ}}AB$と表せるので、ADの長さの最大値は$\boxed{ヒ}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{\boxed{問題A}　関数y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)$の最大値を求めよ。}$

$\sin\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2},$　$\cos\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\displaystyle \frac{1}{2}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{\ \ イ\ \ }\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}\right)$

と変形できる。よって、$y$は$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$で最大値$\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ $をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{\boxed{問題B}　関数y=\sin\theta+p\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)の最大値を求めよ。}$

$(\textrm{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$で最大値$\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ $をとる。
$(\textrm{ii})$　$p \gt 0$のときは、加法定理
$\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha$$+\sin\theta\sin\alpha$
を用いると
$y=\sin\theta+p\cos\theta$$=\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}\cos(\theta-\alpha)$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}$、$\cos\alpha=\frac{\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}$、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta=\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$で最大値
$\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}}$をとる。

$(\textrm{iii})$　$p \lt 0$のとき、$y$は$\theta=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$で最大値$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$をとる。

$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p)^2$
ⓑ$(1+p)^2$


$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②$\displaystyle \frac{\pi}{2}$


[2]二つの関数$f(x)=\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}$、$g(x)=\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{\ \ セ\ \ }、g(0)=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{\ \ タ\ \ }$で最小値$\ \boxed{\ \ チ\ \ }$ をとる。
$g(x)=-2$ となる$x$の値は$\log_2\left(\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}-\boxed{\ \ テ\ \ }\right)$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$　$\cdots$②
$\left\{f(x)\right\}^2-\left\{g(x)\right\}^2=\boxed{\ \ ニ\ \ }$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{\ \ ヌ\ \ }\ f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta)$　$\cdots(\textrm{A})$
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)$　$\cdots(\textrm{B})$
$g(\alpha-\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)$　$\cdots(\textrm{C})$
$g(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta)$　$\cdots(\textrm{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)のうち、
$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$の解答群
⓪$(\textrm{A})$
①$(\textrm{B})$
②$(\textrm{C})$
③$(\textrm{D})$

2021共通テスト過去問