問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)2次不等式$x^2+5x-6\lt 0$を解け。
(2)9人の生徒を3人ずつA,B,Cの3つの組に分けるとき、分け方は何通りか。
(3)次のデータがある。3,5,5,6,7,10.このデータの平均値を求めよ。また、分散を求めよ。
(4)$(4x+1)^5$を展開したとき、$x^2$の係数を求めよ。
(5)xの整式$x^3-3x^2+ax-a$ (aは定数)がx-2で割り切れるとき、aの値を求めよ。
(6)$a\neq 0,b\neq 0$とする。 $(ab)^5\times (a^2)^{-3}\div (b^2)^2$を計算せよ。
(7)整数m,nについて、$m+n$が偶数であることは、mnが偶数であるための$\Box$である。
(選択肢)
①必要十分条件である
②必要条件であるが、十分条件ではない
③十分条件であるが、必要条件ではない
④必要条件でも十分条件でもない

大問2[1]：式と証明
次のような問題がある。
問1 すべての実数xに対して、不等式 $x^2+x+1\geqq 3x-2 …$(＊)が成り立つことを証明せよ。
問2 $x\geqq 2$のとき、関数$ f(x)=\dfrac{x+2}{x}$ の最小値を求めよ。
太郎さんはこの問題の解答を次のように書いた。
問1 $(x^2+x+1)-(3x-2)=x^2-2x+3=(a-1)^2+2$ すべての実数xに対して、$(x-1)^2\geqq 0$であるから、$(a-1)^2+2\geqq 0$ よって、$x^2+x+1\geqq 3x-2$ は成り立つ。
問2 $x\geqq 2$のとき、$x\gt 0,\dfrac{2}{x}\gt 0$であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、$\dfrac{x+2}{x}\geqq 2\sqrt x\times \dfrac{2}{x}$ これより、$f(x)\geqq 2\sqrt2$ よって、f(x)の最小値は$2\sqrt2$である。
(1)太郎さんの問1の解答は正しいか、正しくないか答えよ(答えのみでよい)。また、xが実数のとき、問1の不等式(＊)において、等号が成り立つか成り立たないか答えよ。さらに、その理由を「実数」「実数解」のいずれかの単語を用いて説明せよ。

大問2[2]：確率
1～4の数字が書かれたカードが1枚ずつ計4枚のカードが入っている袋がある。この袋の中から1枚のカードを無作為に取り出し、カードに書かれた数を記録して袋に戻すことを繰り返し4回行う。
(1)4回とも1が記録される確率を求めよ。
(2)4回とも2以上の数が記録される確率を求めよ。
(3)記録された4個の数の最小値が2である確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
aは実数の定数とする。xy平面上に2点A(1,0)、B(-1,4)と円C:$x^2+y^2-2(a+1)x-4ay+5a^2+2a=0$があり、Cの中心をPとする。
(1)線分ABの長さと、直線ABの方程式を求めよ。
(2)$a=1$のとき、Pの座標を求めよ。また、このときのPと直線ABの距離を求めよ。
(3)aが実数全体を変化するとき、Pの軌跡を求めよ。
(4)aの値が$1\leqq a\leqq 3$の範囲を変化するとき、Cが通過する領域をDとする。点QがDを動くとき、三角形ABQの面積の最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
座標平面上に2点A(8,0)、B(0,8)と、原点を中心とする半径3の円がある。この円上に、x座標、y座標がともに正である点P($3\cos\theta,3\sin\theta)\left(0\lt\theta\lt \dfrac{\pi}{2}\right)$をとる。Pからx軸に下した垂線とx軸の交点をQ、Pからy軸に下した垂線とy軸の交点をRとし、△APQと△BPRの面積の和をSとする。
(1)線分AB、BRの長さをそれぞれ$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(2)Sを$\sin\theta、\cos\theta$を用いて表せ。
(3)$t=\sin\theta+\cos\theta$とする。$\theta$が$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、tのとり得る値の範囲を求めよ。
(4)(i)θが$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。
(ii)Sが最大となる$\theta$は2つあり、それらを$\theta_1,\theta_2\left(0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt\dfrac{\pi}{2}\right)$とする。このとき、$\dfrac{\pi}{8}\lt \theta_1\lt\dfrac{\pi}{6}$であることを証明せよ。

大問5：微分法
3次関数 $f(x)=2x^3+3(1-a)x^2-6ax+8a$ がある。ただし、aは実数の定数である。
(1)a=2とする。
(i)f(x)の増減を調べて、f(x)の極大値と極小値を求めよ。
(ii)xの方程式$f(x)=0$の解で、$1\lt x\lt2$を満たすものの個数を求めよ。
(2)f(x)が$1\lt x\lt 2$において極値をもたないようなaの値の範囲を求めよ。
(3)xの方程式$f(x)=0$が$1\lt x\lt 2$の範囲に少なくとも1つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

大問6：ベクトル
Oを原点とする座標空間に、3点A(1,2,2)、B(3,-4,0)、C(a,b,5)があり、$OA⊥OC$かつ$OB⊥OC$が成り立っている。
(1)$\vert OA\vert$、$\vert OB\vert$、内積$OA・OB、\cos\angle AOB$の値をそれぞれ求めよ。
(2)a,bの値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)Oを中心とする半径rの球面Sがある。Sが3点A,B,Cを通る平面と交わってできる円の半径が2であるとき、rの値を求めよ。

大問7：数列
数列{$a_n$}$(n=1,2,3,…)$を$a_1=7, a_{n+1}=a_n+4(n=1,2,3,…)$によって定める。
(1)$a_4$の値を求めよ。また、数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ。
(3)数列{$b_n$}$(n=1,2,3,…)$を$b_1=3, b_{n+1}-b_n=a_n(n=1,2,3,…)$によって定める。数列{$b_n$}の一般項$b_n$を求めよ。
(4)数列{$c_n$}$(n=1,2,3,…)$を(3)の$b_n$を用いて、$c_1=\dfrac{1}{5}, c_{n+1}=b_n\times \dfrac{c_n}{(b_{n+1}-3)}(n=1,2,3,…)$によって定める。数列${c_n}$の一般項$c_n$を求めよ。また、$\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
aは実数の定数とし、$0\leqq\theta\lt 2\pi$とする。次の2つの式を考える。
$8a\cos\theta- 8\cos2\theta=a^2+7$…①
$\sin\theta-\cos\theta\gt-1$…②
(1)a=1のとき、方程式①を解け。
(2)不等式②を 解け。
(3)(2)で求めた範囲に①の異なる解がちょうど3個存在するようなaの値の 範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1：小問集合
(1)(a+3)³を展開せよ。
(2)(x-3)/(x²+x) + (x+9)/(x²+3x)を計算せよ。
(3)2次関数y=x²+2x (-2≦x≦2)における最大値をM、最小値をmとして、M-mを求めよ。
(4)iを虚数単位とする。(7+3i)/(1+i)をa+bi (a,bは実数の形で表せ。 )
(5)0°≦θ＜180°、sinθ+cosθ=1/2のとき、sinθ・cosθとcosθ-sinθを求めよ。
(6)異なる5冊の本をAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない人がいてもよいな らば、分け方は何通りか。 また、区別のつかない5冊のノートをAとBの2人に分けるとき、1冊ももらわない 人がいてもよいならば、分け方は何通りか。

大問2-1：2次関数
実数xについての2つの不等式 ax²+2ax-2a+1≦0・・・①
│x-2│≦1・・・② がある。
ただし、aは0でない実数の定数とする。
(1)a=-1のとき、①を解け。
(2)②を解け。
(3)②を満たすすべてのxが①を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

大問2-2：図形と計量
三角形ABCにおいて、AB=7、BC=8、CA=3とする。
(1)cos∠BACの値を求めよ。
(2)三角形ABCの面積を求めよ。
(3)三角形ABCの外接円において、点Aを含まない方の弧BC上に、 sin∠BCP:sin∠CBP=1:3となるように点Pをとる。
このとき、線分BPの長さと四角形 ABPCの面積を求めよ。

大問3：確率
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

大問4：整数の性質
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10について、2^zを7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、2⁰=1とする。
(ii)x,zは等式 7x=2^z+3・・・① を満たしている。0≦z≦10のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 (4x+3y)(x-y)=2^z・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、z=5のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、0≦z≦20のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)z=100で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

大問5：式と証明、複素数と方程式
aを実数の定数とする。xの3次式 P(x)=x³+3x²+3x+a があり、P(-2)=0を満たす。
(1)aの値を求めよ。
(2)方程式P(x)=0を解け。
(3)方程式P(x)=0の虚数解のうち、虚部が正であるものをα、虚部が負であるもの をβと表す。また、方程式P(x)=0の実数解をγと表す。さらに、A=α+1、B=β+1、 C=γ+1とする。
(i)A²+B²、A³、B³の3つの値をそれぞれ求めよ。
(ii)nを2020以下の正の整数とする。A^n+B^n+C^n=0を満たすnの個数を求めよ。

大問6：三角関数
θの関数 f(θ)=1/2sin2θ-√2kcos(θ-π/4)+k² がある。ただし、kは正の定数である。
(1)sin2θ,cos(θ-π/4)のそれぞれをsinθ、cosθを用いて表せ。
(2)(i)f(θ)を(sinθ-p)(cosθ-q) (p,qは定数)の形で表せ。 (ii)k=√3/2のとき、方程式f(θ)=0を0≦θ＜2πにおいて解け。
(3)θの方程式f(θ)=0が0≦θ＜2πにおいて相異なる4個の解をもつようなkの値の範 囲を求めよ。
(4)(3)のとき、θの方程式f(θ)=0の0≦θ＜2πにおける最小の解をα、最大の解をβと する。α+β=5π/3となるようなkの値を求めよ。

大問7：ベクトル
三角形OABがあり、OA=2,OB=1,∠AOB=120°である。辺OAの中点をCとし、線分ABを1:2に内分する点をDとする。またOB=a,OB=bとする
(1)OC、ODをそれぞれa,bを用いて表せ。また、内積a・bの値を求めよ。
(2)OH=kOD(kは実数)と表される点Hがある。CT⊥ODとなるとき、kの値を求め、OHをa,bを用いて表せ。
(3)直線ODに関して点Cと対称な点をEとする。OEをa,bを用いて表せ。
(4)直線AB上にAと異なる点Pを∠AOD=∠PODとなるようにとる。OPをa,bを用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)$(x^2+x)(x^2+x-3)$を展開すると、$\Box$となる.
(2)$2x^2-5xy-3y^2$を因数分解すると、$\Box$となる.
(3)$\alpha=3+\sqrt6、\beta=3-\sqrt6$について、$\alpha\beta$の値は$\Box$であり、$\Box$である.
(4)$\theta$は鋭角とする.$\tan\theta=\sqrt3$のとき、$\cos\theta=\Box$である.
(5)不等式$-x\lt 3x-4\lt x$の解は$\Box$である.
(6)次のデータがある。$6,3,5,2,2,7,1,4,8$ このデータの第3四分位数は$\Box$であり、四分位範囲は$\Box$である.

第2問[1]：図形と計量
三角形$ABC$があり、$AB=4,AC=5,\cos\angle BAC=\dfrac{1}{8}$である。
(1)$\sin\angle BAC$の値を求めよ。また、辺$BC$の長さを求めよ。
(2)辺$AC$(両端を除く)上に点$D$をとり、三角形$BCD$の外接円の半径を$R$とする。
(i)$\angle BDC=\theta$とおくとき、$\sin\theta$を$R$を用いて表せ.
(ii)$R=4$のとき、線分$BD$の長さと線分$AD$の長さを求めよ.

[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に$1,2,3,4$である場合は$N=1234$となる。　
(1)$N$は全部で何個できるか.
(2)$2126,3335$のように、同じ数を含む$N$は何個できるか．
(3)$4321$より大きい$N$は何個できるか.

第3問：2次関数
$x$の2次関数$f(x)=x^2-2x+2$があり、放物線$y=f(x)$を$C_1$とする。
(1)(i)$C_1$の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
(2)$p$を正の整数とする。$C_1$を$x$軸の方向に$p$、$y$軸方向に$-p$だけ平行移動した放物線を$C_2$とし、$C_2$の方程式を$y=g(x)$とする。
(i)$C_2$の頂点の座標を求めよ。
(ii)$0\leqq x\leqq 4$における$g(x)$の最小値を$m$とする。$m$を$p$を用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つような$p$の値の範囲を求めよ。
　 (A)$0\leqq x\leqq 4$を満たすすべての実数$x$に$g(x)\gt 0$
(B)$0\leqq x\leqq 4$を満たすある実数xに対して$g(x)\gt 8$

第4問：複素数と方程式
$a,b$を実数の定数とし、$c$を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
$x^2-6x+10=0$ …①
$x^2-ax+b=0$ …②
があり、②の2つの解は$1+ci、1-ci$である。ただし、$i$は虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)$a$の値を求めよ。また、$b$を$c$を用いて表せ。
(3)$d$を実数の定数とする。多項式$P(x)$があり、$P(x)$を2次式$x^2-ax+b=0$で割ると、商は $x^2-6x+10=0$、余りは$cx+d$である。
　(i)$P(1+ci)$を$p+qi$ ($p,q$は実数であり、いずれも$c,d$で表された式)の形で表せ。
　(ii)①の２つの解を$\alpha,\beta$と表し、複素数の集合$A,B$を
　$A={\alpha,\beta,1+ci,1-ci}、B={P(\alpha)，P(\beta)，P(1+ci)，P(1-ci)}$
　と定める。$A=B$となるような$b,c,d$の組($b.c,d$)をすべて求めよ。ただし、$A=B$とは、$A$の要素と$B$の要素がすべて一致することである。

第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
高2全統共通テスト模試のベクトルの解説です。