問題文全文(内容文)：
白玉6個、赤玉2個、青玉2個の計10個の玉を横一列に並べる。ただし、同じ色の玉は区別しない。
(1)並べ方は全部で何通りあるか。
(2)白赤白赤白と連続して並ぶ箇所があるような並べ方は何通りあるか。
(3)次の、赤玉についての条件A、青玉についての条件Bを考える。
A：「同じ色の玉が両隣にある」
B：「異なる色の玉が 両隣にある」
ただし、列の両端の玉は、AもBも満たさないものとする。例えば、 白赤白白白青赤青白白は、2個の赤玉はともにAを満たし、2個の青玉もともにBを 満たす。また、白赤赤白白青青白白白は、2個の青玉はともにBを満たすが、2個 の赤玉はともにAを満たさない。
(i)2個の赤玉がともにAを満たすような並べ方は 何通りあるか。
(ii)2個の赤玉がともにAを満たし、かつ、2個の青玉がともにBを満たすような並べ方は何通りあるか。

問題文全文(内容文)：
(1)x,zは0以上の整数とする。
(i)$z=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$について、$2^z$を7で割ったときの余りを順に書き 並べよ。ただし、$2^0=1$とする。
(ii)x,zは等式$ 7x=2^z+3$・・・① を満たしている。$0\leqq z\leqq 10$のとき、等式①を満たすx,zの組(x,z)をすべて求めよ。
(2)0以上の整数x,y,zが、等式 $(4x+3y)(x-y)=2^z$・・・② を満たしている。
(i)xが奇数、yが偶数、$z=5$のとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(ii)xが奇数、yが偶数、$0\leqq z\leqq 20$のとき、等式②を満たすx,y,zの組(x,y,z)の個数 を求めよ。
(iii)$z=100$で、xとyは偶奇を問わないとき、等式②を満たすx,yの組(x,y)の個数 を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1:小問集合
(1) x⁴-5x²+4を因数分解せよ。
(2) 多項式P(x)をx-2で割ると、商がx²+2x+4で、余りが3となるとき、P(x)を求めよ。
(3) kを実数の定数とする。2次関数 y=x²+4x+k の最小値が3であるとき、 kの値を求めよ。
(4) iを虚数単位とする。 i³(2+i) を a+bi (a, bは実数)の形で表せ。
(5) AB=5、BC=6、0°＜∠ABC＜90°,面積が6√6である三角形ABCにおいて、sin∠ABCの値とCAの長さを求めよ。
(6) 7個の数字1,2,3,4,5,6,7から、異なる3個を選び、それらを並べて3桁の整数を作る。このとき、3桁の整数は全部で何個あるか、また、3桁の偶数は何個あるか。

大問2-1:2次不等式
実数xについての2つの不等式
3x²-11x+6≤0...①
│x-a│＜1...②
がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1) ①を解け、
(2) a=2のとき、②を解け、
(3) ①かつ②を満たす整数xが、ちょうど2個存在するようなの値の範囲を求めよ。

大問2-2:図形と方程式
xy平面上に、
円C:x²+y²-4x-2y+3=0
直線l:x-2y+a=0
があり、Cの中心をA、半径をrとする。ただし、aは正の定数とする。
(1) Aの座標との値を求めよ。
(2) Cとしが異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、Cとの異なる2つの交点をP, Qとする、が(2)で求めた範囲を動くとき、三角形APQの面積が最大となるようなaの値を求めよ。

大問3:高次方程式
xの3次式
f(x)=x³-(k+2)x²+(k²+2k-2)x-k³+2k
と、xの3次方程式
f(x)=0...(*)
がある。ただし、kは正の定数とする。
(1) f(k)を求めよ。
(2) k=1のとき、(*)を解け。
(3) (*)が異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ。また、そのとき、(*)を解け。
(4) 実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]と表す。例えば、[3.5]=3、[2]=2である、(3)のとき、次の条件(#)が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。
条件(#): (*)の異なる2解α、βで[α]=[β]を満たすものが存在する。

大問4:確率
数直線上に点Pがある。最初、Pは原点にあり、1枚のコインを1回投げるごとに、表が出たときはPを正の方向に1だけ動かし、裏が出たときはPを負の方向に1だけ動かす。また、Pを初めて正または負の方向に1だけ動かした後、Pが原点に戻るたびに1点を獲得するものとする。
(1) コインを2回投げたとき、Pが原点にある確率を求めよ。
(2) コインを4回投げたとき、
(i) Pが原点にある確率を求めよ。
(ii) 4回目に初めて1点を獲得する確率を求めよ。
(iii) 獲得する点数の合計の期待値を求めよ。
(3) コインを6回投げたとき、1点も獲得しない確率を求めよ。


大問5:三角関数
kを実数の定数とする。以下のような、θの方程式①との不等式②がある。
tan=k...①
2cosθ+1≧0...②
(1) k=1のとき、0≦θ＜2πにおいて、①を解け。
(2) 0≦θ＜2πにおいて、②を解け。
(3) 0≦θ＜2πにおける①の解は2個ある。その2個の解の和が4π/3となるようなんの値を求めよ。
(4) (2)で求めたθの値の範囲における①の解が、2個あるときを考える。その2個の解をα, β(α＜β) とする。
(i) kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii) α+β≧7π/4となるようなkの値の範囲を求めよ。

大問6:数列
等差数列{a_n} (n=1,2,3,...) があり、
a₄=28、a₁₀=76
である。また、数列{b_n} (n=1,2,3,...)があり、その一般項は、
b_n=n²-n+2
である。
(1) 数列{a_n}の一般項a_nを求めよ。また、数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nを求めよ。
(2) 数列{b_n}の階差数列を{c_n}(n=1,2,3,...) とするとき、数列{c_n}の一般項c_nを求めよ。
(3) (1), (2) で求めたS_n, c_nに対して、次の連立不等式を満たす整数x、yの組(x,y)の個数をA_n(n=1,2,3,...)とする。
1≦x≦c_n、1≦y≦S_n、x²≦y≦4x²
(i) A₂を求めよ。
(ii) A_nを求めよ。

問題文全文(内容文)：
四角形OABCは、OB+3BC＝2ABを満たしている。また、辺OAを2:1に内分する点を Dとし、a=OA、c=OCとする。
(1)OBをa,cを用いて表せ。
(2)2直線OB,CDの交点をP とする。OPｗｐa,cを用いて表せ。また、CP:PDを求めよ。
(3)OA=3、OB=√15,OC=4 とする。(i)内積a・cの値を求めよ。(ii)四角形OABCに、CとDが重なるように折 り目を付け、再び広げて四角形に戻す。折り目の直線lと直線OCの公転をNとする とき、ON:NCを求めよ。また、3直線OB,OC,lで囲まれてできる三角形の面積を求 めよ。

問題文全文(内容文)：
△ABCにおいて、$AB=3,AC=6,\angle BAC=90°$であるとき、$BC=(ア)\sqrt{(イ)}$である。Aを中心とし、Bを通る円をKとし、円Kと直線ACの交点のうち辺AC上にある方をD、もう一方をEとする。また、円Kと直線BCの交点でBと異なるものをFとする。このとき、CE=(ウ)であり、方べきの定理を用いると、$CF=\dfrac{(エ)\sqrt{(オ)}}{(カ)}$とわかるから$\dfrac{BF}{FC}=\dfrac{(キ)}{(ク)}$である。さらに、直線EFと辺ABの交点をP、直線EFと線分BCの交点をQとすると、$\dfrac{BQ}{QD}=(ケ)$であり、△BFQの面積は$\dfrac{(コ)}{(サシ)}$である。また、△CPQの面積は$\dfrac{(ス)}{(セ)}$である。