問題文全文(内容文)：
次の集合がベクトル空間の部分空間をなすか判定せよ.

(1)$W_1=\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in IR^3 | x\neq 2y\right]$

(2)$W_2=\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in IR^3 | x+2y+3z=0 \right]$

(3)$W_3=\left[\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in IR^3 | x+2y+3z\geqq 0 \right]$

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$　p,qを正の実数とする。原点をOとする座標空間内の3点P(p,0,0), Q(0,q,0), R(0,0,1)は$\angle$PRQ=$\frac{\pi}{6}$を満たす。四面体OPQRの体積の最大値を求めよ。

2018一橋大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$tを実数とする。また、Oを原点とする座標空間内に
3点$A(4,2,5),\ B(-1,1,1),\ C(2-t,4-3t,6+2t)$をとる。
(1)$\triangle OAB$の面積を求めよ。
(2)4点O,A,B,Cが同一平面上にあるとき、Cの座標を求めよ。
(3)点Cがxy平面上にあるとき、四面体OABCの体積Vを求めよ。
(4)四面体OABCの体積が(3)で求めたVの3倍となるようなtの値を
すべて求めよ。

2022慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
3. 空間の 3 点 $A(-1,-2,1)$、$B(-3,-1,1)$、$C(-3,-2,3)$ で定まる平面を $\alpha$ とし、点 $D(-3,-2,1)$ から平面 $\alpha$ に垂線 $DH$ を下ろす。

(1) $\overrightarrow{DH}=\dfrac{\overrightarrow{DA}+\boxed{\text{マ}} \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{\boxed{\text{ミ}}}$ である。

(2) 点 $H$ の座標は $\left(-\dfrac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}},-\dfrac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}},\dfrac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}\right)$ である。

(3) 垂線 $DH$ の長さは $\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}}{\boxed{\text{リ}}}$ である。

(4) 四面体 $DABC$ の体積を $V_1$ とする。また、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とし、四面体 $DCHP$ の体積を $V_2$ とする。このとき、$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\boxed{\text{ルレ}}}{\boxed{\text{ロ}}}$ である。

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1)1辺の長さが1の正五角形$OA_1B_1C_1A_2$を考える。

$\angle A_1C_1B_1=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$、$\angle C_1A_1A_2=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$となることから、$\overrightarrow{ A_1A_2 }$と
$\overrightarrow{ B_1C_1 }$は平行である。ゆえに
$\overrightarrow{ A_1A_2 }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ B_1C_1 }$
であるから
$\overrightarrow{ B_1C_1 }=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}\overrightarrow{ A_1A_2 }$$=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })$
また、$\overrightarrow{ OA_1 }$と$\overrightarrow{ A_2B_1 }$は平行で、さらに、$\overrightarrow{ OA_2 }$と$\overrightarrow{ A_1C_1 }$も平行であることから
$\overrightarrow{ B_1C_1 }=\overrightarrow{ B_1A_2 }+\overrightarrow{ A_2O }+\overrightarrow{ OA_1 }+$$\overrightarrow{ A_1C_1 }$$=-\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }-\overrightarrow{ OA_2 }$$+\overrightarrow{ OA_1 }+
\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }$$=\left(\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)$$(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })$
となる。したがって
$\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}=\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }$
が成り立つ。$a \gt 0$に注意してこれを解くと、$a=\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$を得る。


(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

面$OA_1B_1C_1A_2$に着目する。$\overrightarrow{ OA_1 }$と$\overrightarrow{ A_2B_1 }$が平行であることから
$\overrightarrow{ OB_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ A_2B_1 }$$=\overrightarrow{ OA_2 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }$
である。また
$|\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 }|^2=|\overrightarrow{ A_1A_2 }|^2$$=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ カ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
に注意すると
$\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OA_2 }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
を得る。

次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると
$\overrightarrow{ OB_2 }=\overrightarrow{ OA_3 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }$
である。さらに
$\overrightarrow{ OA_2 }・\overrightarrow{ OA_3 }=\overrightarrow{ OA_3 }・\overrightarrow{ OA_1 }$$=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
が成り立つことがわかる。ゆえに
$\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},$$　\overrightarrow{ OB_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
である。

$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$1$
②$-1$
③$\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$
④$\displaystyle \frac{1-\sqrt5}{2}$
⑤$\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}{2}$
⑥$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{2}$
⑦$-\displaystyle \frac{1}{2}$
⑧$\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}{4}$
⑨$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{4}$


最後に、面$A_2C_1DEB_2$に着目する。
$\overrightarrow{ B_2D }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ A_2C_1 }=\overrightarrow{ OB_1 }$
であることに注意すると、4点$O,B_1,D,B_2$は同一平面上にあり、四角形
$OB_1DB_2は\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$の解答群
⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②正方形ではないが、ひし形である
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
④平行四辺形ではないが、台形である
⑤台形でない

(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)

2021共通テスト過去問