問題文全文(内容文)：
「2020年センター試験の塾生の結果」についての報告です。

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}A}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\$\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2},}}$　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}})$

と変形できる。よって、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{問}\mathrm{題}B}} \mathrm{関}\mathrm{数}y=\sin \theta +p\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})\mathrm{の}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{求}\mathrm{め}\mathrm{よ}。}}$

$(\text{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$をとる。
$(\text{ii})$　$p>0$のときは、加法定理
$\cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha$$+\sin \theta \sin \alpha$
を用いると
$y=\sin \theta +p\cos \theta$$=\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}\cos (\theta -\alpha )$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}}$、$\cos \alpha =\frac{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}}}$、$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$で最大値
$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}}$をとる。

$(\text{iii})$　$p<0$のとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$をとる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}～\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p{)}^2$
ⓑ$(1+p{)}^2$


$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$


[2]二つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}}$、$g(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}、g(0)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$で最小値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$ をとる。
$g(x)=-2$ となる$x$の値は${\log }_2(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$　$\cdots$②
${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}}、\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\text{A}$)～($\text{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\text{A}$)～($\text{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha -\beta )=f(\alpha )g(\beta )+g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{A})$
$f(\alpha +\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{B})$
$g(\alpha -\beta )=f(\alpha )f(\beta )+g(\alpha )g(\beta )$　$\cdots (\text{C})$
$g(\alpha +\beta )=f(\alpha )g(\beta )-g(\alpha )f(\beta )$　$\cdots (\text{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\text{A}$)～($\text{D}$)のうち、
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}}}$の解答群
⓪$(\text{A})$
①$(\text{B})$
②$(\text{C})$
③$(\text{D})$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]$a$を定数とする。
(1)直線$l:y=(a^2-2a-8)x+a$　の傾きが負となるのは、$a$の値の範囲が

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}<a<\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$

のときである。

(2)$a^2-2a-8\ne 0$とし、(1)の直線$l$と$x$軸との交点の$x$座標を$b$とする。
$a>0$の場合、$b>0$となるのは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<a<\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$のときである。
$a\leqq 0$の場合、$b>0$となるのは$a<\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$のときである。
また、$a=\sqrt{3}$のとき

$b=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}$

である。

[2]自然数$n$に関する三つの条件$p,q,r$を次のように定める。

$p:n$は$4$の倍数である
$q:n$は$6$の倍数である
$r:n$は$24$の倍数である

条件$p,q,r$の否定をそれぞれ$\overline{p},\overline{q},\overline{r}$で表す。
条件$p$を満たす自然数全体の集合を$P$とし、条件$q$を満たす自然数全体
の集合を$Q$とし、条件$r$を満たす自然数全体の集合を$R$とする。自然数全体
の集合を全体集合とし、集合$P,Q,R$の補集合をそれぞれ$\overline{P},\overline{Q},\overline{R}$で表す。

(1)次の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$に当てはまるものを、下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

$32\in \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$である。
⓪$P\cap Q\cap R$　①$P\cap Q\cap \overline{R}$　②$P\cap \overline{Q}$
③$\overline{P}\cap Q$　④$\overline{P}\cap \overline{Q}\cap R$　⑤$\overline{P}\cap \overline{Q}\cap \overline{R}$

(2)次の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$に当てはまるものを、下の⓪～④のうちから一つ選べ。

$P\cap Q$に属する自然数のうち最小のものは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$である。
また、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}R$である。

⓪=　①$\subset$　②$\supset$　③$\in$　④$\notin$

(3)次の$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$に当てはまるものを、下の⓪～③のうちから一つ選べ。

自然数$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$は、命題$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$の反例である。

⓪「($p$かつ$q$) $⟹\overline{r}$」　①「($p$または$q$) $⟹\overline{r}$」　
②「$r⟹$ ($p$かつ$q$)」　③「($p$かつ$q$) $⟹r$」　

[3]$c$を定数とする。2次関数$y=x^2$のグラフを、2点$(c,0),$　$(c+4,0)$
を通るように平行移動して得られるグラフを$G$とする。

(1)$G$をグラフにもつ2次関数は、$c$を用いて

$y=x^2-2(c+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}})x+$$c(c+\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}})$

と表せる。
$2$点$(3,0),$　$(3,-3)$を両端とする線分と$G$が共有点をもつような
$c$の値の範囲は

$-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}\leqq c\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}\leqq c\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}$

である。

(2)$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}\leqq c\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}$の場合を考える。$G$が点$(3,-1)$を通る
とき、$G$は2次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}}+\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}}$。
$y$軸方向に$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}\mathrm{ヒ}}}$だけ平行移動したものである。また、このとき
$G$と$y$軸との交点の$y$座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
動画内の図を参照して求めよ
（1）
$AP$

（2）
$OD$

（3）
$\cos \mathrm{\angle }OAD$

（4）
$AC$

（5）
$\mathrm{△}ABC$

問題文全文(内容文)：
$\mathrm{第}3\mathrm{問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$${\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-}$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$　である。

(2)$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}})(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}})}}$$-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left({\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}}\right)$$-{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left({\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{k+\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{k+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}}\right)}$$={\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}\left({\displaystyle \frac{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^{k+1}=}$${\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^n}}$

が成り立つことを利用すると

$b_n={\displaystyle \frac{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}})}}$$+{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}}\right)}^n}$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n={\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}^{n-\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}(n^2-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}})+$${\displaystyle \frac{(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}})(n+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}})}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}}}}}$

で与えられる。ただし、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}<\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}}}$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}},$　$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}$である。

2020センター試験過去問