問題文全文(内容文)：
袋の中に、当たりくじ6本と、はずれくじ4本の合計10本のくじが入っている。
袋 からくじを引くときは、1回につき同時に2本のくじを引くものとし、2本とも当 たりくじを引くことを「大当り」と呼ぶこととする。
(1)袋からくじを1回引くとき、「大当り」となる確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dの4人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじはす べて毎回袋に戻す。
(i)4人とも、「大当り」とならない確率を求めよ。
(ii)4人のうち1人だけが「大当り」となる確率を求めよ。
(iii)2人以上が続けて「大当り」とならない確率を求めよ。
(3)A,B,C,D,Eの5人がこの順に袋からくじを1回ずつ引く。ただし、引いたくじは すべて袋に戻さない。このとき、5人のうち2人だけが「大当り」となる確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
Oを原点とする座標平面上に点Pがある。最初、Pは原点Oにあり、1個のサイコロ を1回投げるごとに次の(規則)に従ってPを動かす。 (規則) ・1,2いずれかの目が出たときはx軸の正の方向に1だけ動かす。 ・3の目が出たときはx軸の正の方向に2だけ動かす。 ・4,5,6いずれかの目が出たときはy軸の正の方向に1だけ動かす。 例えば、さいころを2回投げて、1回目に2の目、2回目に5の目が出たとき、Pは O(0,0)→点(1,0)→点(1,1) と動く。
(1)サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3,0)である確率を求めよ。
(2)サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率を求めよ。
(3)サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5,2)である確率を求めよ。
(4)サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy 座標が2である条件付き確率を求めよ。

問題文全文(内容文)：
関数f(x)を次の式で定める。ただし、kは正の定数である。$f(x)=kx^3-4x^2+x+k^2$ 原点をOとする座標平面上において、曲線$C：y=f(x)$とy軸の交点をAとし、Aにお けるCの接線と垂直でAを通る直線をlとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)Cとlが A以外に2点で交わるとする。このとき、kの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、CとlのA以外の2交点をP、Qとし、三角形OPQの面積をSとする。kが(2)で求めた範 囲を変化するとき、Sの最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
大問1
(1)　袋の中に5枚のコインが入っており、そのうち2枚には両面にAが書かれており、残り3枚には片面にA、もう一方の面にBが書かれている。
(ⅰ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になる確率を求めよ。
(ⅱ)袋から無作為にコインを1枚選び、選んだコインを投げたとき、Aが書かれた面が上になった。このとき、下の面にもAが書かれている確率を求めよ。
(2)　多項式$(x-1)^{99}$を$x^2$で割った時の余りを求めよ。また、整数$99^{99}$を10000で割った時の余りを求めよ。
(3)　$12^{12}$の桁数を求めよ。
(4)$\displaystyle z=\frac{-\sqrt{3}+i}{1+i}$とする。
(ⅰ)zを極形式で表せ。
(ⅱ)nを正の整数とする。$z^n$が実数となるような最小のnを求めよ。

大問2
　数列${a_n}$の初項$a_1$から第n項$a_n$までの和を$S_n$、数列${b_n}$の初項$b_1$から第n項$b_n$までの和を$T_n$をとするとき
$a_1=2、b_1=0、a_{n+1}=2T_n+2、b_{n+1}=2S_n$　が成り立つ。
(1)　$a_2、b_2$を求めよ
(2)　$a_{n+1}、b_{n+1}$を$a_n、b_n$を用いて表せ。
(3)　一般項$a_n$を求めよ。

大問3
　aは実数の定数とし、関数f(x)を
$f(x)=e^{-x}(a-sinx-cosx)　(0＜x＜2π)$により定める。
(1)f(x)が極値を持つとき、aの値の範囲を求めよ。
(2)f(x)が極値を2つ持つときを考える。極値の積が負となるとき、aの値の範囲を求めよ。また、極値の積が$\displaystyle \frac{-e^{-3π}}{2}$となるときのaの値を全て求めよ。

大問4
AB=1、AC=3、BC=$2\sqrt{3}$である三角形ABCがある。$\overrightarrow{AB}=\vec{b}、\overrightarrow{AC}=\vec{c}$とする。
(1)　内積$\vec{b}･\vec{c}$の値を求めよ。
(2)　s,tを実数とし、$\overrightarrow{AP}=s\vec{b}+t\vec{c}$とする。AB⊥BP、AC⊥CPであるとき、s,tの値を求め、さらに｜$\overrightarrow{AP}$｜を求めよ。
(3)点Qが三角形ABCの外接円上を動くとき、三角形BCQの面積を最大にするQを$Q_0$とする。$\overrightarrow{AQ_0}$を$\vec{b},\vec{c}$を用いて表せ。

大問5
　$0≦x＜π$において定義された関数
$f(x)=\displaystyle \frac{2sinx}{1+cosx}、g(x)=\frac{\sqrt{3}}{1+cosx}$　
があり、曲線y=f(x)を$C_1$、曲線y=g(x)を$C_2$とする。
(1)　$C_1、C_2$の共有点のx座標を求めよ
(2)(ⅰ)不定積分$\int f(x)dx$を求めよ
(ⅱ)$tan\frac{2}{x}$の導関数をcosxを用いて表せ
(3)$C_1、C_2$およびy軸の3つで囲まれる部分の面積を$S_1$とし、$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする。$S_1$と$S_2$の大小を比較せよ。ただし、自然対数の底eについて、2.7＜e＜2.8であることは用いてよい。

大問6
正の整数Nを3で割った時の余りは2である。
(1)正の整数a,bを3で割った時の余りをそれぞれ$r_a、r_b$とする。ab=Nが成り立つとき、$r_a、r_b$の組をすべて求めよ。
(2)Nの正の約数の総和を3で割った時の余りを求めよ。
(3)Nの正の約数の逆数の総和を$\displaystyle \frac{q}{p}$（ただし、pとqはともに正の整数で最大公約数は1である）と表したとき、qは3の倍数であることを示せ。

問題文全文(内容文)：
a,bを実数定数とする。xの方程式 $x^3+(1-a)x^2+3x+b=0$・・・(＊) は$x=-1$を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)$a=1$のとき、(＊)を解け。
(3)(＊)が異なる3個の実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(4)(3)のとき、(＊)の-1以外の解を$\alpha,\beta$とする。 $f(x)=x^2+cx+d$ (c,dは実数の定数) が次の(条件)を満たすとき、c,dの値の組(c,d)を求めよ。 (条件) $f(α)=\dfrac{1}{\beta} f(\beta)=\dfrac{1}{\alpha} f(-1)=-1$