問題文全文(内容文)：
複素数$\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}$に対して、複素数$z_n$を
$z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)$
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、
$z_n$の表す点を$P_n$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$の絶対値|$\alpha$と変革$\arg\alpha$をそれぞれ求めよ。
ただし、$0 \leqq \arg\alpha \lt 2\pi$とする。
(2)$z_2,\ z_3$の実部と虚部をそれぞれ求めよ。
(3)$z_n$の極形式をnを用いて表せ。
(4)$O,\ P_n,\ P_{n+1}$を頂点とする三角形の面積$S_n$を$n$を用いて表せ。
(5)(4)で定めた$S_n$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty}S_n$の和Sを求めよ。

2022立教大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$a,b$整数

$x^3+ax^2+bx-1=0$は3つの実数解$\alpha, \beta, \gamma$をもち、$0 \lt \alpha \lt \beta \lt \gamma \lt 3$で、$\alpha, \beta, \gamma$のうちどれかは整数である。
$a,b$を求めよ。

出典：一橋大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $n$を3以上の整数とする。座標平面上の点のうち、$x$座標と$y$座標がともに1以上$n$以下の整数であるものを考える。これら$n^2$個の点のうち3点以上を通る直線の個数を$L(n)$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$L(3)$を求めよ。
(2)$L(4)$を求めよ。
(3)$L(5)$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数列$\{p_n\},\{q_n\}$は
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_n+\displaystyle \frac{1}{4}q_n-\displaystyle \frac{1}{4} \\
q_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_n+\displaystyle \frac{3}{4}q_n+\displaystyle \frac{1}{4}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$　を満たす。
（1）
$p_n+q_n=p_1+q_1$を示せ

（2）
一般項$p_n$を$p_1,q_1$を用いて表せ

（3）
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p_n=1$のとき、$p_1,q_1$の値を求めよ。

出典：2020年旭川医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
関数f(x)を次で定める。
$f(x)=\frac{1}{x}\ \ (x \gt 0)$
座標平面上の曲線y=f(x)をCとする。C上の点$P(2,\ \frac{1}{2})$と、正の定数tに対して
y軸上の点$A(0,\ -t)$をとる。点Aと点Pを通る直線を$l_1$とする。
(1)直線$l_1$を表す方程式を、tを用いて表せ。
(2)C上の点PにおけるCの法線とy軸の交点を$(0,\ -t_0)$とおく。$t_o$を求めよ。
上の(2)で求めたt_0に対してt \lt t_0とする。点Pを通り、直線$l_1$に垂直な直線を
$l_2$とする。$l_2$とCの交点のうち、点Pと異なる点をQとおく。
(3)点Qの座標を、tを用いて表せ。
最後に$t=\frac{3}{2}$の時を考える。
(4)点Qを通るCの接線を$l_3$とする。このとき、2つの直線$l_1,l_3$および曲線Cで
囲まれた部分の面積を求めよ。

2022東京理科大学理工学部過去問