問題文全文(内容文)：
座標平面上に、2点 $A(-4,\,9)$、$B(8,\,3)$ と直線 $\ell$ があり、
直線 $\ell$ の式は
\[
y=ax+(a-2)
\]
である。

2点 $A$、$B$ から直線 $\ell$ に垂線をひき、
$\ell$ との交点をそれぞれ $P$、$Q$ とすると、
\[
AP=BQ
\]
となった。

このとき、$a$ の値を求めなさい。
ただし、2点 $A$、$B$ を通る直線と直線 $\ell$ は平行ではないものとする。

問題文全文(内容文)：
次は、SさんとTさんの会話です。これを読んで、下の①、②に答えなさい。

Sさん「九九の表の81個の数を全部たすと、いくつになるか、わかるかな。」

Tさん「順番に全部をたすのはたいへんだから、何か工夫しないと。
まず一の段の9個の数をたすと45で、二の段は9個の数がそれぞれ
一の段の数の2倍になっているから、和も2倍になるね。
同じように考えていくと、九九の表の81個の数全部の和は、

\[
45\times1+45\times2+45\times3+\cdots+45\times8+45\times9
\]

\[
=45\times(1+2+3+\cdots+8+9)
=\boxed{\text{ア}}^{2}
\]

だから、これを計算して $\boxed{\text{イ}}$ になるよ。」

Sさん「正解！」

Tさん「右の表1を見ていて気づいたのだけれど、四隅の1、9、81、9を
たすと100になる。ほかにも、例えば、表2の○で囲まれた、
6と24と56と14も、たすと100になるよ。」

Sさん「表2の4つの○と4つの長方形は、九九の表の中央の「25」を
回転の中心として、$90^\circ$ずつ回転させるとちょうど重なるね。
このような位置関係の、○で囲まれた4つの数の和が100になることを
証明できるかな。」

Tさん「まず、6と24と56と14は、それぞれ、
$2\times3$、$3\times8$、$8\times7$、$7\times2$
と表せるね。和は、

\[
2\times3+3\times8+8\times7+7\times2
\]

\[
=(2\times3+3\times8)+(8\times7+7\times2)
\]

\[
=(2+8)\times3+(8+2)\times7
=10\times3+10\times7
\]

\[
=10\times(3+7)=10\times10=100
\]

たしかに100になったよ。」

Sさん「表2の左上の長方形は縦2マス$\times$横3マスだね。」

Tさん「2と3をうまく使って他の3つの数も表せそう！
例えば、$3\times8$で求められる24は、

\[
3\times(10-2)
\]

と表せるね。」

Sさん「では、4つの数のうちどれか1つの数を$a\times b$と表すとき、
他の3つの数はどう表せるかな？」

Tさん「
$b\times(\boxed{\text{ウ}})$、
$(\boxed{\text{ウ}})\times(\boxed{\text{エ}})$、
$(\boxed{\text{エ}})\times a$
と表せるね。」

Sさん「この4つの数をたすと、たしかに100になるね。」

Tさん「ところで、このような位置関係の4つの数の組は
「6と24と56と14」を含めて、全部で$\boxed{\text{オ}}$組あるね。」

Sさん「そうすると、
$100\times\boxed{\text{オ}}+25$
で、たしかに、九九の表の81個の数全部の和と一致するね！」


\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
1&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
3&3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
4&4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
5&5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
6&6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
7&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
8&8&16&24&32&40&48&56&64&72\\
9&9&18&27&36&45&54&63&72&81
\end{array}
\qquad \text{表1}
\]

\[
\begin{array}{c|ccccccccc}
& 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
1&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&2&4&\bigcirc 6&8&10&12&14&16&18\\
3&3&6&9&12&15&18&21&\bigcirc 24&27\\
4&4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
5&5&10&15&20&\boxed{25}&30&35&40&45\\
6&6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
7&7&\bigcirc 14&21&28&35&42&49&56&63\\
8&8&16&24&32&40&48&\bigcirc 56&64&72\\
9&9&18&27&36&45&54&63&72&81
\end{array}
\qquad \text{表2}
\]

① $\boxed{\text{ア}}$、$\boxed{\text{イ}}$にあてはまる数を
それぞれ求めなさい。

② $\boxed{\text{ウ}}$、$\boxed{\text{エ}}$にあてはまる式を、
それぞれ、$a$または$b$を使った最も簡単な形で書きなさい。
また、$\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数を求めなさい。

（2つの$\boxed{\text{ウ}}$、2つの$\boxed{\text{エ}}$には、
それぞれ同じ式が入り、2つの$\boxed{\text{オ}}$には
同じ数が入ります。）

問題文全文(内容文)：
右の図で、直線 $\ell$ は関数 $y=-2x+12$ のグラフ、直線 $m$ は関数
$y=-\frac{1}{2}x+b$ のグラフです。点A、点Bは、それぞれ、直線 $\ell$ と
$x$ 軸、$y$ 軸との交点です。また、点Cは、直線 $\ell$ と直線 $m$ との交点、
点Dは、直線 $m$ と $x$ 軸との交点です。

このとき、次の各問に答えなさい。
ただし、点Cは線分AB上（両端は含まない）にあるものとします。

(1) 点Aの $x$ 座標を求めなさい。
(2) $\angle BOC=\angle OBC+\angle ACD$ となるときの $b$ の値を、
途中の説明も書いて求めなさい。その際、解答用紙の図を用いて説明してもよいものとします。

問題文全文(内容文)：
右の図のような四角形 $ABCD$ があり，
$AB=3\sqrt{5}$, $BC=11$, $CD=3$, $DA=5$, $\angle ADC=90^\circ$
である。

(1) 線分 $AC$ の長さを求めよ。また，$\cos\angle ABC$ の値を求めよ。
(2) 辺 $CD$ 上に点 $E$ をとり，線分 $AE$ を折り目として $\triangle AED$ を折り返すと，点 $D$ は辺 $BC$ 上の点 $F$ に重なった。このとき，$\sin\angle AFB$ の値を求めよ。また，線分 $BF$ の長さを求めよ。
(3) (2)のとき，線分 $EF$ の長さを求めよ。さらに，直線 $AF$ と直線 $BE$ の交点を $G$ とするとき，\[\frac{BG}{GE}\]の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
(2) 右の図2のように，辺$BC$と線分$DE$との交点を$F$とします。また，辺$BC$の延長上に点$G$を，$CG=CB$となるようにとります。線分$AF$の延長上に点$H$を，$AH=AB$となるようにとります。線分$CG$上に点$I$を，$HI=GI$となるようにとります。

このとき，次の①，②に答えなさい。

① $\angle AIG=106^\circ$のとき，$\angle ABC$の大きさを求めなさい。

② $AE:EB=7:18$，$AF:FH=7:13$のとき，$\triangle AEF$と$\triangle FHI$の面積の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。

問題文全文(内容文)：
右の図で、曲線は関数 $y=\frac{a}{x}$ のグラフの $x>0$ の部分です。
また、直線 $\ell$ は関数 $y=-\frac{3}{2}x+15$ のグラフです。点A、点Bは曲線と直線 $\ell$ との交点で、点Aの座標は $(2,\,12)$、点Bの $y$ 座標は3です。
このとき、次の各問に答えなさい。
(1)　$a$ の値を求めなさい。
(2)　点P、点Qは、原点Oを同時に出発し、点Pは $y$ 軸上を負の方向に毎秒2cmの速さで動き、点Qは $x$ 軸上を負の方向に毎秒1cmの速さで動きます。
線分APと線分BQとの交点をCとするとき、$\triangle PBC$ の面積が $\triangle QAC$ の面積より $5\,\mathrm{cm}^2$ 大きくなるのは、点P、点Qが原点Oを同時に出発してから何秒後か求めなさい。
ただし、座標軸の単位の長さを1cmとします。

問題文全文(内容文)：
(1)（図A）の容器に入っている水の体積は何Lですか。
(2) いま、（図A）の容器に（図B）のような直方体の形をした石を、この向きのまま静かにしずめました。
このとき、容器から何$\text{cm}^3$の水の量があふれ出しますか。

問題文全文(内容文)：
下図のように1辺の長さが3の正四面体を2個つなぎ合わせてできる六面体がある。辺ABの中点をD、直線PQと平面ABCの交点をEとすると、

$PD=\frac{【ア】\sqrt{【イ】}}{【ウ】}$，

$PE=\sqrt{【エ】}$

である。したがって、この六面体の表面積は

$\frac{【オカ】\sqrt{【キ】}}{【ク】}$，

体積は

$\frac{【ケ】\sqrt{【コ】}}{【サ】}$

である。また、

$\cos\angle PDQ=\frac{【シス】}{【セ】}$

である。

この六面体の各面の重心を結んでできる正三角柱の表面積は

$【ソ】\sqrt{【タ】}+\frac{\sqrt{【チ】}}{【ツ】}$，

体積は

$\frac{\sqrt{【テ】}}{【ト】}$

である。

問題文全文(内容文)：
BCを斜辺とする直角三角形ABCと点Pがある。$AB=4,\ AC=3$のとき、$AP$の長さを次の場合について求めよ。

(1) $P$が$\triangle ABC$の外心のとき

(2) $P$が$\triangle ABC$の垂心のとき

(3) $P$が$\triangle ABC$の重心のとき

(4) $P$が$\triangle ABC$の内心のとき

問題文全文(内容文)：
結晶の析出量に関する次の問いに答えよ。
ただし，硝酸カリウムの水に対する溶解度は，$20^\circ\mathrm{C}$で$32\,\mathrm{g}/100\,\mathrm{g}$水，$60^\circ\mathrm{C}$で$110\,\mathrm{g}/100\,\mathrm{g}$水，$80^\circ\mathrm{C}$で$170\,\mathrm{g}/100\,\mathrm{g}$水であるとする。

(1) $60^\circ\mathrm{C}$の飽和溶液$100\,\mathrm{g}$中に溶けている硝酸カリウムは何$\mathrm{g}$か。有効数字2桁で答えよ。
(2) $60^\circ\mathrm{C}$の飽和溶液$100\,\mathrm{g}$を$20^\circ\mathrm{C}$に冷却すると，結晶は何$\mathrm{g}$析出するか。
(3) $80^\circ\mathrm{C}$の飽和溶液$100\,\mathrm{g}$を$40^\circ\mathrm{C}$に冷却すると，$40\,\mathrm{g}$の結晶が析出した。硝酸カリウムは，$40^\circ\mathrm{C}$の水$100\,\mathrm{g}$に最大で何$\mathrm{g}$溶けるか。