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大問2(2)数直線上の原点 $O(0)$ に動点 $P$ がある。この動点 $P$ は $1$ 個のサイコロを投げたときに出た目に従って、次の規則で動くものとする。サイコロを $3$ 回投げる。第 $1$ 回目に出た目の数だけ正の方向に動き、その位置から第 $2$ 回目に出た目の数だけ負の方向に動き、その位置から第 $3$ 回目に出た目の数だけ再び正の方向に動いて止まる。このとき、最後の位置が $+3$ になる確率はエである。大問2(3)$1$ 個のサイコロを $4$ 回投げ、その出た目の数を順に $a, b, c, d$ とする。このとき、$a \times b = c \times d$となる確率はオである。

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(1)$x, y, z$ は正の整数で、$\frac{1}{x} - \frac{y}{8} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4}$および $x \geqq z \geqq 2$ を満たす $x, y, z$ の組は [ あ ] 組ある。そのうち $x + y + z$ の最大値は [ い ] であり、そのときの $x$ は [ う ] である。(2)$y \leqq -2x + 6, \quad y \leqq x + 3$を満たし、点 $(1, 4)$ からの距離が $5$ 以下の範囲にあって、さらに $x$ 座標と $y$ 座標が共に整数となる点 $(x, y)$ は [ え ] 個ある。
また、それらの点 $(x, y)$ について$(x + y)\log_{10} 3 - y\log_{10} 2$を計算したとき、その最大値は $\log_{10}$ [ お ] である。

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[1] 次の $\boxed{\phantom{\text{ア}}}$ にあてはまる数を求め、解答のみを解欄に記入しなさい。解答が有理数となる場合には、整数または既約分数の形で答えること。

関数 $y=(x+1)(x-3)|x-1|$ のグラフを $C$ とする。

傾きが $\dfrac{11}{4}$ となる直線でグラフ $C$ の接線となるものを考え、それらの接線とグラフ $C$ との接点の $x$ 座標のうち最大のものを $x_L$、最小のものを $x_S$ とすると、
$x_L=\boxed{\text{ア}}$，$x_S=\dfrac{6-\boxed{\text{イ}}}{6}$ である。

また、$x=x_L$ でグラフ $C$ と接点をもつ接線を $l_1$ とする。$l_1$ と直線 $x=1$ に関して線対称となる直線 $l_2$ について、その $y$ 切片の値を $y_0$、グラフ $C$ との共有点の $x$ 座標を $x_0$ とすると、$y_0=\boxed{\text{ウ}}$，$x_0=\boxed{\text{エ}}$である。したがって、グラフ $C$ と直線 $l_1$ および直線 $l_2$ で囲まれる部分の面積を $S$ とすると、$S=\boxed{\text{オ}}$ である。

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大問2(1)$a_n = \sin \frac{n\pi}{6}$, $b_n = \cos \frac{n\pi}{3}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$\displaystyle \sum_{n=1}^{50} (a_n + b_n) = \frac{1}{2}($ア$)$ であり、$\displaystyle \sum_{n=1}^{250} a_n b_n =$ イ である。また、 $x$ に関する $2$ 次方程式 $2x^2 - 4a_n x - 3b_n = 0$ が負の重解を持つための最小の $n$ の値を $n_0$ とすると、 $n_0 =$ ウ である。

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【2】(1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ とする。連立方程式$$\begin{cases} \cos x + \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x + \cos y = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{cases}$$の解 $x, y$ について，$\sin(x+y) = \text{ア}$, $x = \text{イ}\pi$, $y = \text{ウ}\pi$ である。(2) 平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $\vert{}\vec{a} - 2\vec{b}\vert{} = 1$ と $\vert{}-2\vec{a} + 7\vec{b}\vert{} = 1$ を満たすとする。このとき，$\vert{}\vec{a} + \vec{b}\vert{}$ の最大値は エ，最小値は オ である。