問題文全文(内容文)：
共通テスト2023数学1A 第5問解説していきます.

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
ある大学には、多くの留学生が在籍している。この大学の留学生に対して学習や生活を支援する
留学生センターでは、留学生の日本語の学習状況について関心を寄せている。

(1)この大学では、留学生に対する授業として、いかに示す三つの日本語学習コースがある。
初級コース:1週間に10時間の日本語の授業を行う
中級コース:1週間に8時間の日本語の授業を行う
上級コース:1週間に6時間の日本語の授業を行う
すべての留学生が三つのコースのうち、いずれか一つのコースのみに登録する
ことになっている。留学生全体における各コースに登録した留学生の割合は、
それぞれ　初級コース:20％,　中級コース:35％,　上級コース:$\boxed{\ \ アイ\ \ }％$
であった。ただし、数値はすべて正確な値であり、四捨五入されていないものとする。
この留学生の集団において、一人を無作為に抽出したとき、その留学生が1週間に
受講する日本語学習コースの授業の時間数を表す確率変数をXとする。
$X$の平均(期待値)は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{2}$であり、$X$の分散は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{20}$である。

次に、留学生全体を母集団とし、$a$人を無作為に抽出した時、初級コースに登録した人数
を表す確率変数を$Y$とすると、$Y$は二項分布に従う。このとき、$Y$の平均$E(Y)$は

$E(Y)=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$

である。
また、上級コースに登録した人数を表す確率変数を$Z$とすると、$Z$は二項分布に従う。
$Y,Z$の標準偏差をそれぞれ$\delta(Y),\delta(Z)$とすると

$\displaystyle \frac{\delta(Z)}{\delta(Y)}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コサ\ \ }}}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$

である。
ここで、$a=100$としたとき、無作為に抽出された留学生のうち、初級コースに
登録した留学生が28人以上となる確率を$p$とする。$a=100$は十分大きいので、
$Y$は近似的に正規分布に従う。このことを用いて$p$の近似値を求めると、
$p=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である。


$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$については。最も適当なものを、次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪$0.002$　①$0.023$　②$0.228$　③$0.477$　④$0.480$　⑤$0.977$


(2)40人の留学生を無作為に抽出し、ある1週間における留学生の日本語学習コース
以外の日本語の学習時間(分)を調査した。ただし、日本語の学習時間は母平均$m$,
母分散$\delta^2$の分布に従うものとする。
母分散$\delta^2$を$640$と仮定すると、標本平均の標準偏差は$\boxed{\ \ セ\ \ }$となる。
調査の結果、40人の学習時間の平均値は120であった。標本平均が近似的に
正規分布に従うとして、母平均$m$に対する信頼度95％の信頼区間を$C_1 \leqq m \leqq C_2$とすると
$C_1=\boxed{\ \ ソタチ\ \ }.\boxed{\ \ ツテ\ \ },$
$C_2=\boxed{\ \ トナニ\ \ }.\boxed{\ \ ヌネ\ \ }$
である。


(3)(2)の調査とは別に、日本語の学習時間を再度調査することになった。そこで、
50人の留学生を無作為に抽出し、調査した結果、学習時間の平均値は120であった。
母分散$\delta^2$を640と仮定したとき、母平均$m$に対する信頼度95％の信頼区間を
$D_1 \leqq m \leqq D_2$とすると、$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$が成り立つ。
一方、母分散$\delta^2$を960と仮定したとき、母平均$m$に対する信頼度95％の
信頼区間を$E_1 \leqq m \leqq E_2$とする。このとき、$D_2-D_1=E_2-E_1$と
なるためには、標本の大きさを50の$\boxed{\ \ ハ\ \ }.\boxed{\ \ ヒ\ \ }$倍にする必要がある。

$\boxed{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$の解答群
⓪$D_1 \lt C_1$かつ$D_2 \lt C_2$　　①$D_1 \lt C_1$かつ$D_2 \gt C_2$
②$D_1 \gt C_1$かつ$D_2 \lt C_2$　　③$D_1 \gt C_1$かつ$D_2 \gt C_2$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]　$a,b$を定数とするとき、$x$についての不等式
$|ax-b-7| \lt 3$　$\cdots$①
を考える。
(1)$a=-3,b=-2$とする。①を満たす整数全体の集合を$P$とする。
この集合$P$を、要素を書き並べて表すと
$P=\left\{\boxed{\ \ アイ\ \ },　\boxed{\ \ ウエ\ \ }\right\}$
となる。ただし、$\boxed{\ \ アイ\ \ },　\boxed{\ \ ウエ\ \ }$の解答の順序は問わない。

(2)$a=\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}$とする。
$(\textrm{i})b=1$のとき、①を満たす整数は全部で$\boxed{\ \ オ\ \ }$個である。
$(\textrm{ii})$①を満たす整数が全部で$(\boxed{\ \ オ\ \ }+1)$個であるような正の整数$b$
のうち、最小のものは$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。

[2]平面上に2点$A,B$があり、$AB=8$である。直線$AB$上にない点$P$をとり、
$\triangle ABP$をつくり、その外接円の半径を$R$とする。
太郎さんは、図1(※動画参照)のように、コンピュータソフトを使って点$P$
をいろいろな位置に取った。
図1は、点$P$をいろいろな位置にとったときの$\triangle$の外接円をかいたものである。

(1)太郎さんは、点$P$のとり方によって外接円の半径が異なることに気づき、
次の問題1を考えることにした。

問題1:点$P$をいろいろな位置にとるとき、外接円の半径$R$が最小となる
$\triangle ABP$はどのような三角形か。
正弦定理により、$2R=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\sin\angle APB}$である。よって、
Rが最小となるのは$\angle APB=\boxed{\ \ クケ\ \ }°$の三角形である。
このとき、$R=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。


(2)太郎さんは、図2(※動画参照)のように、問題1の点$P$のとり方に
条件を付けて、次の問題2を考えた。

問題2:直線$AB$に平行な直線を$l$とし、直線l上で点$P$をいろいろな
位置にとる。このとき、外接円の半径$R$が最小となる$\triangle ABP$は
どのような三角形か。

太郎さんは、この問題を解決するために、次の構想を立てた。

問題2の解決の構想
問題1の考察から、線分$AB$を直径とする円を$C$とし、円$C$に着目
する。直線lは、その位置によって、円$C$と共有点を持つ場合と
もたない場合があるので、それぞれの場合に分けて考える。

直線$AB$と直線lとの距離を$h$とする。直線lが円$C$と共有点を
持つ場合は、$h \leqq \boxed{\ \ サ\ \ }$のときであり、共有点をもたない場合は、
$h \gt \boxed{\ \ サ\ \ }$のときである。

$(\textrm{i})h \leqq \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき
直線$l$が円$C$と共有点をもつので、$R$が最小となる$\triangle ABP$は、
$h \lt \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$であり、$h=\boxed{\ \ サ\ \ }$のとき直角二等辺三角形
である。

$(\textrm{ii})h \gt \boxed{\ \ サ\ \ }$のとき
線分$AB$の垂直二等分線を$m$とし、直線$m$と直線$l$との交点を$P_1$とする。
直線$l$上にあり点$P_1$とは異なる点を$P_2$とするとき$\sin\angle AP_1B$
と$\sin\angle AP_2B$の大小を考える。
$\triangle ABP_2$の外接円と直線$m$との共有点のうち、直線$AB$に関して点$P_2$
と同じ側にある点を$P_3$とすると、$\angle AP_3B \boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}\angle AP_2B$である。
また、$\angle AP_3B \lt \angle AP_1B \lt 90°$より$\sin \angle AP_3B \boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}\angle AP_1B$である。
このとき$(\triangle ABP_1$の外接円の半径$) \boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }} (\triangle ABP_2$の外接円の半径)
であり、$R$が最小となる$\triangle ABP$は$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$である。

$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$については、最も適当なものを、次の⓪～④のうち
から一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪鈍角三角形　①直角三角形　②正三角形
③二等辺三角形　④直角二等辺三角形

$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\lt$　①$=$　②$\gt$

(3)問題2の考察を振り返って、$h=8$のとき、$\triangle ABP$の外接円の半径$R$
が最小である場合について考える。このとき、$\sin\angle APB=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$
であり、$R=\boxed{\ \ テ\ \ }$である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
二つの袋$A,B$と一つの箱がある。$A$の袋には赤球2個と白球1個が入っており、
$B$の袋には赤球3個と白球1個が入っている。また、箱には何も入っていない。

(1)$A,B$の袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。
$(\textrm{i})$箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}$である。

$(\textrm{ii})$箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球
である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$であり、取り出した球が赤球であったときに、
それが$B$の袋に入っていたものである条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}$である。

(2)$A,B$の袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し、球の色を調べずに箱に入れる。
$(\textrm{i})$箱の中の4個の球のうち、ちょうど2個が赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である。
また、箱の中の4個の球のうち、ちょうど3個が赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$である。

$(\textrm{ii})$箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り出すとき、どちらの球も
赤球である確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ タチ\ \ }}{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}$である。また、取り出した2個の球がどちらも
赤球であったときに、それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである
条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ トナ\ \ }}{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}$である。