福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題2(2)。3次関数の問題。 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題2(2)。3次関数の問題。

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (2)座標平面上で、次の3つの3次関数のグラフについて考える。\\
y=4x^3+2x^2+3x+5 \ldots④ y=-2x^3+7x^2+3x+5 \ldots⑤\\
y=5x^3-x^2+3x+5 \ldots⑥\\
④,⑤,⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。\\
共通点:・y軸との交点のy座標は\boxed{\ \ ソ\ \ } である。\\
・y軸との交点における接線の方程式は y=\boxed{\ \ タ\ \ }\ x+\boxed{\ \ チ\ \ } である。\\
\\
a,b,c,dを0でない実数とする。\\
曲線y=ax^3+bx^2+cx+d上の点(0, \boxed{\ \ ツ\ \ })における接線の方程式は\\
y=\boxed{\ \ テ\ \ }\ x+\boxed{\ \ ト\ \ } である。\\
次にf(x)=ax^3+bx^2+cx+d, g(x)=\boxed{\ \ テ\ \ }\ x+\boxed{\ \ ト\ \ }とし、\\
f(x)-g(x)について考える。\\
h(x)=f(x)-g(x)とおく。a,b,c,dが正の実数であるとき、y=h(x)のグラフ\\
の概形は\boxed{\ \ ナ\ \ }である。\\
\\
(※\boxed{\ \ ナ\ \ }の解答群は動画参照)\\
y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの共有点のx座標は\frac{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネ\ \ }}と\boxed{\ \ ノ\ \ }である。\\
また、xが\frac{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネ\ \ }}と\boxed{\ \ ノ\ \ }の間を動くとき、\\
|f(x)-g(x)|の値が最大となるのは、x=\frac{\boxed{\ \ ハヒフ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘホ\ \ }}のときである。
\end{eqnarray}
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (2)座標平面上で、次の3つの3次関数のグラフについて考える。\\
y=4x^3+2x^2+3x+5 \ldots④ y=-2x^3+7x^2+3x+5 \ldots⑤\\
y=5x^3-x^2+3x+5 \ldots⑥\\
④,⑤,⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。\\
共通点:・y軸との交点のy座標は\boxed{\ \ ソ\ \ } である。\\
・y軸との交点における接線の方程式は y=\boxed{\ \ タ\ \ }\ x+\boxed{\ \ チ\ \ } である。\\
\\
a,b,c,dを0でない実数とする。\\
曲線y=ax^3+bx^2+cx+d上の点(0, \boxed{\ \ ツ\ \ })における接線の方程式は\\
y=\boxed{\ \ テ\ \ }\ x+\boxed{\ \ ト\ \ } である。\\
次にf(x)=ax^3+bx^2+cx+d, g(x)=\boxed{\ \ テ\ \ }\ x+\boxed{\ \ ト\ \ }とし、\\
f(x)-g(x)について考える。\\
h(x)=f(x)-g(x)とおく。a,b,c,dが正の実数であるとき、y=h(x)のグラフ\\
の概形は\boxed{\ \ ナ\ \ }である。\\
\\
(※\boxed{\ \ ナ\ \ }の解答群は動画参照)\\
y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの共有点のx座標は\frac{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネ\ \ }}と\boxed{\ \ ノ\ \ }である。\\
また、xが\frac{\boxed{\ \ ニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネ\ \ }}と\boxed{\ \ ノ\ \ }の間を動くとき、\\
|f(x)-g(x)|の値が最大となるのは、x=\frac{\boxed{\ \ ハヒフ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘホ\ \ }}のときである。
\end{eqnarray}
投稿日:2022.01.13

<関連動画>

福田の共通テスト解答速報〜2022年共通テスト数学IA問題1[1]。式の値の計算問題。

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単元: #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算(整式・展開・因数分解)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
第1問\ [1] 実数a,b,cがa+b+c=1\ldots①およびa^2+b^2+c^2=13\ldots②を満たしているとする。\\
(1)(a+b+c)^2を展開した式において、①と②を用いるとab+bc+ca=\boxed{\ \ アイ\ \ }\\
であることが分かる。\\
よって、(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }である。\\
\\
(2)a-b=2\sqrt5 の場合に、(a-b)(b-c)(c-a)の値を求めてみよう。\\
b-c=x, c-a=yとおくと、x+y=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt5 である。また(1)の計算から\\
x^2+y^2=\boxed{\ \ キク\ \ }が成り立つ。これらより\\
(a-b)(b-c)(c-a)=\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt5 である。
\end{eqnarray}
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福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題5。ベクトルの問題。

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単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }を満たすとする。tを0 \lt t \lt 1を満たす\\
実数とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をPとする。\\
また、直線OP上に点Qをとる。\\
\\
(1)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }} である。\\
また、実数kを用いて、\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }と表せる。したがって\\
\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }  \ldots\ldots\ldots\ldots①\\
\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OP }が垂直となるのは、t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} のときである。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ } ~ \boxed{\ \ キ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪kt  ①(k-kt)  ②(kt+1)\\
③(kt-1)  ④(k-kt+1)  ⑤(k-kt-1)\\
\\
以下、t ≠\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}とし、\angle OCQが直角であるとする。\\
\\
(2)\angle OCQが直角であることにより、(1)のkは\\
k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }} \ldots②\\
となることがわかる。\\
\\
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Bを含む部分をD_1、含まない部分をD_2とする。また、平面\\
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Aを含む部分をE_1、含まない部分をE_2とする。\\
・0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}ならば、点Qは\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
・\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1ならば、点Qは\boxed{\ \ セ\ \ }。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪D_1に含まれ、かつE_1に含まれる\\
①D_1に含まれ、かつE_2に含まれる\\
②D_2に含まれ、かつE_1に含まれる\\
③D_2に含まれ、かつE_2に含まれる\\
\\
\\
(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|\overrightarrow{ OQ }|の関係について考えている。\\
t=\frac{1}{2}のとき、①と②により、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}とわかる。\\
\\
太郎:t≠\frac{1}{2}のときにも、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となる場合があるかな。\\
花子:|\overrightarrow{ OQ }|をtを用いて表して、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。\\
太郎:計算が大変そうだね。\\
花子:直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとしたら\\
|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるよ。\\
太郎:\overrightarrow{ OR }を\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OB }を用いて表すことができれば、\\
tの値が求められそうだね。\\
\\
\\
直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとすると\\
\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }\\
=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
t≠\frac{1}{2}のとき、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるtの値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}である。
\end{eqnarray}
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福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学IA問題1[1]。2次方程式の解に関する問題。

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単元: #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#2次関数#2次方程式と2次不等式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} [1]cを正の定数とする。xの2次方程式\\
2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0 \ldots①\\
について考える。\\
(1)c=1のとき、①の左辺を因数分解すると(\boxed{\ \ ア\ \ }\ x+\boxed{\ \ イ\ \ })(x-\boxed{\ \ ウ\ \ })であるから、\\
①の解はx=-\frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ア\ \ }}, \boxed{\ \ ウ\ \ }である。\\
\\
\\
(2)c=2のとき、①の解はx=\frac{-\ \boxed{\ \ エ\ \ }±\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }} であり、大きい方の解を\alphaとすると\\
\frac{5}{\alpha}=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}である。また、m \lt \frac{5}{\alpha} \lt m+1を満たす整数mは\boxed{\ \ シ\ \ }である。\\
\\
\\
(3)太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。\\
太郎:①の解はcの値によって、ともに有理数である場合もあれば、ともに無理数\\
である場合もあるね。cがどのような値のときに、解は有理数になるのかな。\\
花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。   \\
\\
①の解が異なる2つの有理数であるような正の整数cの個数は\boxed{\ \ ス\ \ }個である。
\end{eqnarray}
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福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題2。微分積分の問題。

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単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#面積、体積#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
[1]aを実数とし、f(x)=x^3-6ax+16\\
(1)y=f(x)のグラフの概形は\\
a=0のとき、\boxed{\ \ ア\ \ }\\
a \gt 0のとき、\boxed{\ \ イ\ \ }\\
である。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪~⑤のうちから\\
1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。\\
(※選択肢は動画参照)\\
\\
\\
(2)a \gt 0とし、pを実数とする。座標平面上の曲線y=f(x)と直線y=p\\
が3個の共有点をもつようなpの値の範囲は\boxed{\ \ ウ\ \ } \lt p \lt \boxed{\ \ エ\ \ }\\
である。\\
p=\boxed{\ \ ウ\ \ }のとき、曲線y=f(x)と直線y=pは2個の共有点をもつ。\\
それらのx座標をq,r(q \lt r)とする。曲線y=f(x)と直線y=p\\
が点(r,p)で接することに注意すると\\
q=\boxed{\ \ オカ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}, r=\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}\ a^{\frac{1}{2}}\\
と表せる。\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }, \boxed{\ \ エ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16 ①-2\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16\\
②4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16 ③-4\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16\\
④8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16 ⑤-8\sqrt2a^{\frac{3}{2}}+16\\
\\
(3)方程式f(x)=0の異なる実数解の個数をnとする。次の⓪~⑤のうち、\\
正しいものは\boxed{\ \ ケ\ \ }と\boxed{\ \ コ\ \ }である。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }, \boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(解答の順序は問わない。)\\
\\
⓪n=1ならばa \lt 0 ①a \lt 0ならばn=1\\
②n=2ならばa \lt 0 ③a \lt 0ならばn=2\\
④n=2ならばa \gt 0 ⑤a \gt 0ならばn=3\\
\\
\\
[2]b \gt 0とし、g(x)=x^3-3bx+3b^2, h(x)=x^3-x^2+b^2とおく。\\
座標平面上の曲線y=g(x)をC_1, 曲線y=h(x)をC_2とする。\\
\\
\\
C_1とC_2は2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれ\alpha,\beta\\
(\alpha \lt \beta)とすると、\alpha=\boxed{\ \ サ\ \ }, \beta=\boxed{\ \ シス\ \ }である。\\
\alpha \leqq x \leqq \betaの範囲でC_1とC_2で囲まれた図形の面積をSとする。また、\\
t \gt \betaとし、\beta \leqq x \leqq tの範囲でC_1とC_2および直線x=tで囲まれた図形の\\
面積をTとする。\\
このとき\\
S=\int_{\alpha}^{\beta}\boxed{\ \ セ\ \ }dx\\
T=\int_{\beta}^{t}\boxed{\ \ ソ\ \ }dx\\
S-T=\int_{\alpha}^{t}\boxed{\ \ タ\ \ }dx\\
であるので\\
S-T=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}(2t^3-\ \boxed{\ \ ト\ \ }bt^2+\boxed{\ \ ナニ\ \ }b^2t-\ \boxed{\ \ ヌ\ \ }b^3)\\
が得られる。\\
したがって、S=Tとなるのはt=\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}\ bのときである。\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }~\boxed{\ \ タ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪\left\{g(x)+h(x)\right\} ①\left\{g(x)-h(x)\right\}\\
②\left\{h(x)-g(x)\right\} ③\left\{2g(x)+2h(x)\right\}\\
④\left\{2g(x)-2h(x)\right\} ⑤\left\{2h(x)-2g(x)\right\}\\
⑥2g(x) ⑦2h(x)
\end{eqnarray}
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【数学苦手な人向け】今すぐ始めろ!共通テストの数学対策のススメ!(後編)

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単元: #大学入試過去問(数学)#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
2022年度大学入試共通テストの平均点が発表された。
数学ⅠAは37.96点と前年差マイナス19.72点。
数学ⅡBは43.06点と前年差マイナス16.87点。

この難化する共通テストにどう立ち向かっていけばいいのか、プロ講師が薦める対策・勉強法とは!
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