問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)(x²+x)(x²+x-3)を展開すると、□となる.
(2)2x²-5xy-3y²を因数分解すると、□となる.
(3)α=3+√6、β=3-√6について、αβの値は□であり、□である.
(4)θは鋭角とする.tanθ=√3のとき、cosθ=□である.
(5)不等式-x＜3x-4＜xの解は□である.
(6)次のデータがある。6,3,5,2,2,7,1,4,8 このデータの第3四分位数は□であり、四分位範囲は□である.
第2問[1]：図形と計量
三角形ABCがあり、AB=4,AC=5,cos∠BAC=1/8である。
(1)sin∠BACの値を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。
(2)辺AC(両端を除く)上に点Dをとり、三角形BCDの外接円の半径をRとする。
(i)∠BDC=θとおくとき、sinθをRを用いて表せ.
(ii)R=4のとき、線分BDの長さと線分ADの長さを求めよ.
[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に1,2,3,4である場合はN=1234となる。
(1)Nは全部で何個できるか.
(2)2126,3335のように、同じ数を含むNは何個できるか．
(3)4321より大きいNは何個できるか.
第3問：2次関数
xの2次関数f(x)=x²-2x+2があり、放物線y=f(x)をC₁とする。
(1)(i)C₁の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)pを正の整数とする。C₁をx軸の方向にp、y軸方向に-pだけ平行移動した放物線をC₂とし、C₂の方程式をy=g(x)とする。
(i)C₂の頂点の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるg(x)の最小値をmとする。mをpを用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つようなpの値の範囲を求めよ。
(A)0≦x≦4を満たすすべての実数xにg(x)＞0
(B)0≦x≦4を満たすある実数xに対してg(x)＞8
第4問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とし、cを0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
x²-6x+10=0 …①
x²-ax+b=0 …②
があり、②の2つの解は1+ci、1-ciである。ただし、iは虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)aの値を求めよ。また、bをcを用いて表せ。
(3)dを実数の定数とする。多項式P(x)があり、P(x)を2次式x²-ax+b=0で割ると、商は x²-6x+10=0、余りはcx+dである。
(i)P(1+ci)を p+qi (p,qは実数であり、いずれもc,dで表された式)の形で表せ。
(ii)①の２つの解をα,βと表し、複素数の集合A,Bを
A={α,β,1+ci,1-ci}、B={P(α)，P(β)，P(1+ci)，P(1-ci)}
と定める。A=Bとなるようなb,c,dの組(b.c,d)をすべて求めよ。ただし、A=Bとは、Aの要素とBの要素がすべて一致することである。
第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)(x²+x)(x²+x-3)を展開すると、□となる.
(2)2x²-5xy-3y²を因数分解すると、□となる.
(3)α=3+√6、β=3-√6について、αβの値は□であり、□である.
(4)θは鋭角とする.tanθ=√3のとき、cosθ=□である.
(5)不等式-x＜3x-4＜xの解は□である.
(6)次のデータがある。6,3,5,2,2,7,1,4,8 このデータの第3四分位数は□であり、四分位範囲は□である.
第2問[1]：図形と計量
三角形ABCがあり、AB=4,AC=5,cos∠BAC=1/8である。
(1)sin∠BACの値を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。
(2)辺AC(両端を除く)上に点Dをとり、三角形BCDの外接円の半径をRとする。
(i)∠BDC=θとおくとき、sinθをRを用いて表せ.
(ii)R=4のとき、線分BDの長さと線分ADの長さを求めよ.
[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に1,2,3,4である場合はN=1234となる。
(1)Nは全部で何個できるか.
(2)2126,3335のように、同じ数を含むNは何個できるか．
(3)4321より大きいNは何個できるか.
第3問：2次関数
xの2次関数f(x)=x²-2x+2があり、放物線y=f(x)をC₁とする。
(1)(i)C₁の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)pを正の整数とする。C₁をx軸の方向にp、y軸方向に-pだけ平行移動した放物線をC₂とし、C₂の方程式をy=g(x)とする。
(i)C₂の頂点の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるg(x)の最小値をmとする。mをpを用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つようなpの値の範囲を求めよ。
(A)0≦x≦4を満たすすべての実数xにg(x)＞0
(B)0≦x≦4を満たすある実数xに対してg(x)＞8
第4問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とし、cを0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
x²-6x+10=0 …①
x²-ax+b=0 …②
があり、②の2つの解は1+ci、1-ciである。ただし、iは虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)aの値を求めよ。また、bをcを用いて表せ。
(3)dを実数の定数とする。多項式P(x)があり、P(x)を2次式x²-ax+b=0で割ると、商は x²-6x+10=0、余りはcx+dである。
(i)P(1+ci)を p+qi (p,qは実数であり、いずれもc,dで表された式)の形で表せ。
(ii)①の２つの解をα,βと表し、複素数の集合A,Bを
A={α,β,1+ci,1-ci}、B={P(α)，P(β)，P(1+ci)，P(1-ci)}
と定める。A=Bとなるようなb,c,dの組(b.c,d)をすべて求めよ。ただし、A=Bとは、Aの要素とBの要素がすべて一致することである。
第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。
チャプター：
0:00 オープニング
0:05 大問1の問題文：小問集合
0:10 (1)解説：展開
1:05 (2)解説：因数分解
1:52 (3)解説：対称式の値
3:35 (4)解説：三角比の値
4:45 (5)解説：連立不等式
5:42 (6)解説：データの分析
7:40 第2-i問の問題文：図形と計量
7:46 (1)解説：sin、線分BCの長さ
9:33 (2-i)解説：正弦定理
10:49 (2-ii)解説：線分BD、ADの長さ
14:21 第2-ii問の問題文：場合の数
14:26 (1)解説：全通り
15:14 (2)解説：同じ数を含む、余事象
16:26 (3)解説：4321より大きいもの
18:02 第3問の問題文：2次関数
18:07 (1-i)解説：頂点座標
18:59 (1-ii)解説：最大最小
20:11 (2-i)解説：平行移動
21:15 (2-ii)解説：場合分けの最大最小
25:35 (2-iii)解説：条件を満たすとき
32:23 第4問の問題文：複素数と方程式
32:28 (1)解説：2次方程式を解け
33:23 (2)解説：解と係数の関係
34:54 (3-i)解説：多項式の割り算、因数定理
36:25 (3-ii)解説：集合の要素が同じになるとき
40:59 第5問の問題文：確率
41:04 (1)解説：すべて同じ数になるとき
43:00 (2)解説：すべて異なる数になるとき
44:17 (3)解説：和が3の倍数になるとき
46:12 (4)解説：和が3の倍数で赤色を含むとき
48:54 エンディング
単元：
#大学入試過去問(数学)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)(x²+x)(x²+x-3)を展開すると、□となる.
(2)2x²-5xy-3y²を因数分解すると、□となる.
(3)α=3+√6、β=3-√6について、αβの値は□であり、□である.
(4)θは鋭角とする.tanθ=√3のとき、cosθ=□である.
(5)不等式-x＜3x-4＜xの解は□である.
(6)次のデータがある。6,3,5,2,2,7,1,4,8 このデータの第3四分位数は□であり、四分位範囲は□である.
第2問[1]：図形と計量
三角形ABCがあり、AB=4,AC=5,cos∠BAC=1/8である。
(1)sin∠BACの値を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。
(2)辺AC(両端を除く)上に点Dをとり、三角形BCDの外接円の半径をRとする。
(i)∠BDC=θとおくとき、sinθをRを用いて表せ.
(ii)R=4のとき、線分BDの長さと線分ADの長さを求めよ.
[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に1,2,3,4である場合はN=1234となる。
(1)Nは全部で何個できるか.
(2)2126,3335のように、同じ数を含むNは何個できるか．
(3)4321より大きいNは何個できるか.
第3問：2次関数
xの2次関数f(x)=x²-2x+2があり、放物線y=f(x)をC₁とする。
(1)(i)C₁の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)pを正の整数とする。C₁をx軸の方向にp、y軸方向に-pだけ平行移動した放物線をC₂とし、C₂の方程式をy=g(x)とする。
(i)C₂の頂点の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるg(x)の最小値をmとする。mをpを用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つようなpの値の範囲を求めよ。
(A)0≦x≦4を満たすすべての実数xにg(x)＞0
(B)0≦x≦4を満たすある実数xに対してg(x)＞8
第4問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とし、cを0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
x²-6x+10=0 …①
x²-ax+b=0 …②
があり、②の2つの解は1+ci、1-ciである。ただし、iは虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)aの値を求めよ。また、bをcを用いて表せ。
(3)dを実数の定数とする。多項式P(x)があり、P(x)を2次式x²-ax+b=0で割ると、商は x²-6x+10=0、余りはcx+dである。
(i)P(1+ci)を p+qi (p,qは実数であり、いずれもc,dで表された式)の形で表せ。
(ii)①の２つの解をα,βと表し、複素数の集合A,Bを
A={α,β,1+ci,1-ci}、B={P(α)，P(β)，P(1+ci)，P(1-ci)}
と定める。A=Bとなるようなb,c,dの組(b.c,d)をすべて求めよ。ただし、A=Bとは、Aの要素とBの要素がすべて一致することである。
第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。
第1問：小問集合
次の□にあてはまる数または式を求めよ.
(1)(x²+x)(x²+x-3)を展開すると、□となる.
(2)2x²-5xy-3y²を因数分解すると、□となる.
(3)α=3+√6、β=3-√6について、αβの値は□であり、□である.
(4)θは鋭角とする.tanθ=√3のとき、cosθ=□である.
(5)不等式-x＜3x-4＜xの解は□である.
(6)次のデータがある。6,3,5,2,2,7,1,4,8 このデータの第3四分位数は□であり、四分位範囲は□である.
第2問[1]：図形と計量
三角形ABCがあり、AB=4,AC=5,cos∠BAC=1/8である。
(1)sin∠BACの値を求めよ。また、辺BCの長さを求めよ。
(2)辺AC(両端を除く)上に点Dをとり、三角形BCDの外接円の半径をRとする。
(i)∠BDC=θとおくとき、sinθをRを用いて表せ.
(ii)R=4のとき、線分BDの長さと線分ADの長さを求めよ.
[2]：場合の数
1個のサイコロを4回振り、出た目の数を左から順に並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1個のサイコロを4回振り、出た目の数が順に1,2,3,4である場合はN=1234となる。
(1)Nは全部で何個できるか.
(2)2126,3335のように、同じ数を含むNは何個できるか．
(3)4321より大きいNは何個できるか.
第3問：2次関数
xの2次関数f(x)=x²-2x+2があり、放物線y=f(x)をC₁とする。
(1)(i)C₁の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)pを正の整数とする。C₁をx軸の方向にp、y軸方向に-pだけ平行移動した放物線をC₂とし、C₂の方程式をy=g(x)とする。
(i)C₂の頂点の座標を求めよ。
(ii)0≦x≦4におけるg(x)の最小値をmとする。mをpを用いて表せ。
(iii)次の2つの条件(A),(B)がともに成り立つようなpの値の範囲を求めよ。
(A)0≦x≦4を満たすすべての実数xにg(x)＞0
(B)0≦x≦4を満たすある実数xに対してg(x)＞8
第4問：複素数と方程式
a,bを実数の定数とし、cを0でない実数の定数とする。2つの2次方程式
x²-6x+10=0 …①
x²-ax+b=0 …②
があり、②の2つの解は1+ci、1-ciである。ただし、iは虚数単位である。
(1)①を解け。
(2)aの値を求めよ。また、bをcを用いて表せ。
(3)dを実数の定数とする。多項式P(x)があり、P(x)を2次式x²-ax+b=0で割ると、商は x²-6x+10=0、余りはcx+dである。
(i)P(1+ci)を p+qi (p,qは実数であり、いずれもc,dで表された式)の形で表せ。
(ii)①の２つの解をα,βと表し、複素数の集合A,Bを
A={α,β,1+ci,1-ci}、B={P(α)，P(β)，P(1+ci)，P(1-ci)}
と定める。A=Bとなるようなb,c,dの組(b.c,d)をすべて求めよ。ただし、A=Bとは、Aの要素とBの要素がすべて一致することである。
第5問：確率
1が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、2が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、3が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、4が書かれた赤色、白色、青色のカードが1枚ずつ、計12枚のカードが袋の中に入っている。この袋から無作為に3枚のカードを同時に取り出す。
(1)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて同じ数である確率を求めよ。
(2)取り出した3枚のカードに書かれた数がすべて異なる数である確率を求めよ。
(3)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数である確率を求めよ。
(4)取り出した3枚のカードに書かれた数の和が3の倍数であるとき、その3枚のカードの中に赤色のカードが含まれている条件付き確率を求めよ。
投稿日：2024.04.25
