問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{ AB }と\overrightarrow{ AC }の内積は\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=\fbox{ アイ }$であり、
$\angle ABCの外接円の半径は\sqrt{\fbox{ウエ}}$である。$\angle ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{ AP }=\fbox{オ}\overrightarrow{ AB }+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\overrightarrow{ AC }$
が成り立つ。

2023杏林大学過去問

問題文全文(内容文)：
A(0,1,1),B(6,-1,-1),C(-3,-1,1)を通る平面の方程式を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 図のような一辺の長さが1の正八面体ABCDEFがある。
2点P,Qはそれぞれ辺AD, BC上にあり
$\overrightarrow{PQ}$$\bot$$\overrightarrow{AD}$かつ$\overrightarrow{PQ}$$\bot$$\overrightarrow{BC}$
を満たすとする。
(1)$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{BC}$のなす角は$\frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\pi$である。
(2)|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}$,　|$\overrightarrow{BQ}$|=$\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$である。
(3)|$\overrightarrow{PQ}$|=$\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$である。
(4)平面EPQと直線BFの交点をRとすると|$\overrightarrow{BR}$|=$\frac{\boxed{\ \ ニ\ \ }}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$である。

問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに関し、次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。AP+3BP+4CP+8DP=0

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをaとする。
(1)1辺の長さが1の正五角形$OA_1B_1C_1A_2$を考える。

$\angle A_1C_1B_1=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$、$\angle C_1A_1A_2=\boxed{\ \ アイ\ \ }°$となることから、$\overrightarrow{ A_1A_2 }$と
$\overrightarrow{ B_1C_1 }$は平行である。ゆえに
$\overrightarrow{ A_1A_2 }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ B_1C_1 }$
であるから
$\overrightarrow{ B_1C_1 }=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}\overrightarrow{ A_1A_2 }=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })$
また、$\overrightarrow{ OA_1 }$と$\overrightarrow{ A_2B_1 }$は平行で、さらに、$\overrightarrow{ OA_2 }$と$\overrightarrow{ A_1C_1 }$も平行であることから
$\overrightarrow{ B_1C_1 }=\overrightarrow{ B_1A_2 }+\overrightarrow{ A_2O }+\overrightarrow{ OA_1 }+\overrightarrow{ A_1C_1 }=-\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }-\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ OA_1 }+
\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }=\left(\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)(\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 })$
となる。したがって
$\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}=\boxed{\ \ エ\ \ }-\boxed{\ \ オ\ \ }$
が成り立つ。$a \gt 0$に注意してこれを解くと、$a=\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$を得る。


(2)下の図(※動画参照)のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

面$OA_1B_1C_1A_2$に着目する。$\overrightarrow{ OA_1 }$と$\overrightarrow{ A_2B_1 }$が平行であることから
$\overrightarrow{ OB_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\overrightarrow{ A_2B_1 }=\overrightarrow{ OA_2 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_1 }$
である。また
$|\overrightarrow{ OA_2 }-\overrightarrow{ OA_1 }|^2=|\overrightarrow{ A_1A_2 }|^2=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ カ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
に注意すると
$\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OA_2 }=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
を得る。

次に、面OA_2B_2C_2A_2に着目すると
$\overrightarrow{ OB_2 }=\overrightarrow{ OA_3 }+\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ OA_2 }$
である。さらに
$\overrightarrow{ OA_2 }・\overrightarrow{ OA_3 }=\overrightarrow{ OA_3 }・\overrightarrow{ OA_1 }=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }-\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
が成り立つことがわかる。ゆえに
$\overrightarrow{ OA_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\overrightarrow{ OB_1 }・\overrightarrow{ OB_2 }=\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
である。

$\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }},　\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$1$
②$-1$
③$\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}$
④$\displaystyle \frac{1-\sqrt5}{2}$
⑤$\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}{2}$
⑥$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{2}$
⑦$-\displaystyle \frac{1}{2}$
⑧$\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}{4}$
⑨$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{4}$


最後に、面$A_2C_1DEB_2$に着目する。
$\overrightarrow{ B_2D }=\boxed{\ \ ウ\ \ }\overrightarrow{ A_2C_1 }=\overrightarrow{ OB_1 }$
であることに注意すると、4点$O,B_1,D,B_2$は同一平面上にあり、四角形
$OB_1DB_2は\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }}$の解答群
⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②正方形ではないが、ひし形である
③長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
④平行四辺形ではないが、台形である
⑤台形でない

(ただし、少なくとも1組の対辺が平行な四角形を台形という)

2021共通テスト過去問