問題文全文(内容文)：
四面体OABCは,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=90°,∠AOC=∠BOC=60°を満たしている。
(1)点Cから△OABに下した垂線と△OABとの交点をHとする。ベクトルCHをOA,OB,OCを用いて表そう。
(2)四面体OABCの体積を求めよう。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 0<$k$1とする。座標空間内の四面体OABCについて、線分ACの中点をD、線分BCの中点をE、線分DEを1：2に内分する点をPとする。また、
線分OPを$k$：1-$k$に内分する点をQとし、Rを$\overrightarrow{CR}$=$l\overrightarrow{CQ}$を満たす点とする。
$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$,　$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$,　$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$とおいたとき、次の問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{OD}$,　$\overrightarrow{OE}$,　$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$,　$\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$,　$\overrightarrow{c}$,　$k$,　$l$を用いて表せ。
(3)Rが平面OAB上にあるとき、$l$を$k$を用いて表せ。
(4)線分OAの中点をF、線分OBの中点をGとする。Rが線分FG上にあるときの$k$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

空間の点$(0,0,1)$を通り

$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする

直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を

方向ベクトルとする直線を$m$とする。

(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。

また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。

このとき$P$と$Q$の座標、

および線分$PQ$の長さを求めよ。

(2)$\ell$上に$2$点

$A=(t,-t,1),$

$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$

があり、$m$上に$2$点

$C=(1,t,3,-2t),$

$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$

があるとする。ただし、$y$は実数とする。

四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。

$V(0)$を求めよ。

(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、

$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
4点A(1,1,2)、B(0,-4,0)、C(-1,1,-2)、D(2,3,5)がある。線分AB,AC,ADを3辺とする平行六面体の他の頂点の座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに対して,等式$\overrightarrow{ AP }+3\overrightarrow{ BP }+4\overrightarrow{ CP }+8\overrightarrow{ DP }=\overrightarrow{ 0 }$を満たす点Pはどのような位置にあるか｡