問題文全文(内容文)：
第4問　
(1)$5^4=625$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

$5^{4}x-2^{4}y=1 \dots \mathrm{①}$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}}$であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}\mathrm{オ}}}, y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}\mathrm{ク}}}$である。

(2)次に、${625}^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りについて考えてみよう。
まず、
${625}^2=5^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$
であり、また$m=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}\mathrm{ウ}}}$とすると、${625}^2=2^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{m}^2+2^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}m+1$である。
これらにより、${625}^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
$5^{5}x-2^{5}y=1 \dots \mathrm{②}$
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。
$5^{5}x$は$5^5$の倍数であり、$2^5$で割った時の余りは1となる。よって(2)により、
$5^{5}x-{625}^2$は$5^5$でも$2^5$でも割り切れる。$5^5$と$2^5$は互いに素なので
$5^{5}x-{625}^2$は$5^5\mathrm{・}{2}^5$の倍数である。このことから、②の整数解のうち、
xが3桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}\mathrm{ス}}}, y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}\mathrm{タ}\mathrm{チ}\mathrm{ツ}}}$
であることが分かる。

(4)${11}^4$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
${11}^{5}x-2^{5}y=1$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}\mathrm{ト}}}, y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}\mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}$　である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$[1](1)次の問題Aについて考えよう。
問題A　関数$y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})$の最大値を求めよ。

$\sin \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}=\frac{1}{2}$　であるから、三角関数の合成により
$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\sin (\theta +\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}})$
と変形できる。よって、yは$\theta =\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$をとる。

(2)pを定数とし、次の問題Bについて考えよう。
問題B　関数$y=\sin \theta +p\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})$の最大値を求めよ。
$(\text{i})p=0$のとき、yは$\theta =\frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}$で最大値$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$をとる。

$(\text{ii})p>0$のときは、加法定理$\cos (\theta -\alpha )=\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha$を用いると
$y=\sin \theta +p\cos \theta =\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}\cos (\theta -\alpha )$

と表すことができる。ただし$\alpha \mathrm{は}\sin \alpha =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}, \cos \alpha =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}}, 0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

を満たすものとする。このとき、yは$\theta =\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$で最大値$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}$をとる。

$(\text{iii})p<0$のとき、$y$は$\theta =\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$で最大値$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}$をとる。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}～\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$の解答群
⓪-1　　　①1　　　②-p　　　③p　　　\
④1-p　　　⑤1+p　　　⑥-p^2　　　⑦p^2　　　⑧1-p^2　　　\
⑨1+p^2　　　ⓐ(1-p)^2　　　ⓑ(1+p^2)　　　\

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}、\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$の解答群
⓪$0$　　　　①$\alpha$　　　　②$\frac{\pi }{2}$

2021共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
共通テストの国語、数学に記述式解答を導入した場合の危険性について語ります。

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センター試験との違い紹介動画です

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【共通テスト】数学IA 第3問確率が簡単になるテクニック、解説動画です

球が4つある。
赤、青、黄、緑、紫のうちいずれか1色でそれぞれ塗る。
1本の紐で繋がれた2つの球は異なる色。
赤をちょうど2回使う塗り方は何通り？