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共通テスト(プレテスト)【数学ⅠA】解説動画です

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${\large第4問}$
初項3、交差$p$の等差数列を$\left\{a_n\right\}$とし、初項3、公比$r$の等比数列を$\left\{b_n\right\}$と
する。ただし、$p \ne 0$かつ$r \ne 0$とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。
$a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$①

(1)$p$と$r$の値を求めよう。自然数$n$について、$a_n,a_{n+1},b_n$はそれぞれ
$a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p$　$\cdots$②
$a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np$　$\cdots$③
$b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}$
と表される。$r \ne 0$により、すべての自然数$n$について、$b_n \ne 0$となる。
$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=r$であることから、①の両辺を$b_n$で割ることにより
$\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)$　$\cdots$④
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると
$\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)$$+\boxed{\ \ キ\ \ }$　$\cdots$⑤
となる。⑤が全ての$n$で成り立つことおよび$p \ne 0$により、$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$を得る。
さらに、このことから、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$を得る。
以上から、すべての自然数$n$について、$a_n$と$b_n$が正であることもわかる。

(2)$p=\boxed{\ \ ク\ \ },$　$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であるから、$\left\{a_n\right\},$　$\left\{b_n\right\}$の初項から第$n$項
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。
$\sum_{k=1}^na_k=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)$
$\sum_{k=1}^nb_k$$=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)$

(3)数列$\left\{a_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{c_n\right\}$が次を満たすとする。
$a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑥
$a_n$が正であることから、⑥を変形して、$c_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_n$を得る。
さらに、$p=\boxed{\ \ ク\ \ }$であることから、数列$\left\{c_n\right\}$は$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$ことがわかる。

$\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}$の解答群
⓪すべての項が同じ値をとる数列である
①公差が0でない等差数列である
②公比が1より大きい等比数列である
③公比が1より小さい等比数列である
④等差数列でも等比数列でもない

(4)$q,u$は定数で$q \ne 0$とする。数列$\left\{b_n\right\}$に対して、初項3の数列$\left\{d_n\right\}$が
次を満たすとする。
$d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0$　$(n=1,2,3,\ldots)\cdots$⑦
$r=\boxed{\ \ オ\ \ }$であることから、⑦を変形して、$d_{n+1}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)$
を得る。したがって、数列$\left\{d_n\right\}$が、公比が0より大きく1より小さい
等比数列となるための必要十分条件は、$q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }$かつ$u=\boxed{\ \ テ\ \ }$
である。

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
1個のさいころを繰り返し投げ、次の規則に従って数直線上の点Pを動かす。
・原点から出発して、1回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
・2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数だけ点Pを負の方向に動かす。
・以下同様に、直前の回で点Pgaとまった位置から出発して、奇数回目の移動では出た目の数だけ点Pを負の方向に動かし、偶数回目の移動では出た目の数だけ点Pを正の方向に動かす。
例えば、さいころを4回投げて順に5,5,2,6の目が出た場合、点Pの座標は順に、-5,0,-2,4となる。
(1)2回目の移動後に点Pの座標が0となる確率は(ア)/(イ)、4となる確率は(ウ)/(エオ)、5となる確率は(カ)/(キク)である。
(2)4回目の移動後に点Pの座標が9となるのは、点Pの座標が2回目の移動後に(ケ)となり、4回目の移動後に9となる場合、または点Pの座標が2回目の移動後に(コ)となり、4回目の移動後に9となる場合のいずれかである。ただし、(ケ)と(コ)の順序は問わない。
よって、4回目の移動後に点Pの座標が9となる確率は(サ)/(シスセ)である。
また、4回目の移動後に点Pの座標が9であったとき、3回目の移動後の点Pの座標が4である条件付き確率は(ソ)/(タ)である。
(3)7回目の移動後に点Pの座標が13となる確率は(チ)/(ツ)^(テ)である。

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]　(1)$\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\log_{10}5,\log_{10}15$をそれぞれ
$\log_{10}2と\log_{10}3$を用いて表すと
$\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }$
$\log_{10}15=$$\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }$
(2)太郎さんと花子さんは、$15^{20}$について話している。
以下では、$\log_{10}2=0.3010、$$\log_{10}3=0.4771$とする。

太郎:$15^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。$\log_{10}15^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

$\log_{10}15^{20}$は
$\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}$$ \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1$
を満たす。よって、$15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }$桁の数である。

太郎:$15^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、$\log_{10}15^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20}$$ \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

$\log_{10}15^{20}$の小数部分は$\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }$であり
$\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }$$ \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)$
が成り立つので、$15^{20}$の最高位の数字は$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos\theta,\sin\theta),$
$Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)$がある。ただし、$0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta,$$　t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta$

(1)$\triangle PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\triangle PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi,$$　\beta=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi$
であり、加法定理により
$\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},　\sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
である。同様に、$\cos\beta$および$\sin\beta$を、$\sin\theta$と$\cos\theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
①$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
④$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
⑤$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$

考察2:$\triangle PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{4}$である。また、$\alpha$は
$\alpha \lt \displaystyle \frac{5}{4}\pi,　\beta$は$\displaystyle \frac{5}{4}\pi \lt \beta$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin\beta=\cos\alpha,　\cos\beta=\sin\alpha$が成り立つ。よって
$s=t=\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin\alpha+\cos\alpha=$$\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)$
である。したがって

$\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi,　\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta,\alpha,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
であるから、$\theta,\alpha,\beta$の範囲に注意すると
$\beta-\alpha=\alpha-\theta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$であることが分かる。
$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\triangle PQR$は正三角形である。
①$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\triangle PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\triangle PQR$は正三角形である。
③$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\triangle PQR$が正三角形でない場合がある。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$(2)座標平面上で、次の3つの3次関数のグラフについて考える。$y=4x^3+2x^2+3x+5　\ldots④　y=-2x^3+7x^2+3x+5　\ldots⑤$
$y=5x^3-x^2+3x+5　\ldots⑥$
④,⑤,⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。
共通点:・y軸との交点のy座標は$\boxed{ソ}$である。
・y軸との交点における接線の方程式は　$y=\boxed{タ}\ x+\boxed{チ}$　である。

$a,b,c,d$を0でない実数とする。
曲線$y=ax^3+bx^2+cx+d$上の点$(0, \boxed{ツ})$における接線の方程式は
$y=\boxed{テ}\ x+\boxed{ト}$　である。
次に$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,　g(x)=\boxed{テ}\ x+\boxed{ト}$とし、
$f(x)-g(x)$について考える。
$h(x)=f(x)-g(x)$とおく。a,b,c,dが正の実数であるとき、$y=h(x)$のグラフ
の概形は$\boxed{ナ}$である。

(※$\boxed{ナ}$の解答群は動画参照)
$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のx座標は$\frac{\boxed{ニヌ}}{\boxed{ネ}}$と$\boxed{ノ}$である。
また、xが$\frac{\boxed{ニヌ}}{\boxed{ネ}}$と$\boxed{ノ}$の間を動くとき、
$|f(x)-g(x)|$の値が最大となるのは、$x=\frac{\boxed{ハヒフ}}{\boxed{ヘホ}}$のときである。

2021共通テスト数学過去問